미분과 적분

전파교실을 읽다 보면 이런 식을 만납니다.

\[\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \theta(t) = 2\pi\int_0^t f(\tau)\,d\tau\]

앞의 식은 전파는 어떻게 만들어질까? 편의 패러데이 법칙입니다. 뒤의 식은 FM 주파수변조 편에서 FM 신호의 각도를 구하는 식입니다.

\(\dfrac{\partial}{\partial t}\)는 미분, \(\int\)는 적분의 기호입니다. 어려워 보이지만 뜻은 두 가지뿐입니다.

  • 미분 = 지금 이 순간 얼마나 빨리 변하나 → 그래프에서는 기울기
  • 적분 = 잘게 나누어 쌓아 더하면 얼마나 되나 → 그래프에서는 넓이
Δx Δy 미분 = 기울기(얼마나 가파른가) 적분 = 넓이(얼마나 쌓였나)

기호를 소리 내어 읽는 법은 수식 기호 읽기 편에 있습니다. 이 페이지에서는 왜 그런 뜻이 되는지를 그래프로 살펴봅니다. 증명은 하지 않고, 꼭 필요한 것만 고릅니다.

① 미분 — 지금 이 순간의 변화 빠르기

평균 속력과 계기판 속력

서울에서 부산까지 400 km를 4시간에 갔다면 평균 속력은 \(400 \div 4 = 100\ \text{km/h}\)입니다(거리·속력·시간 편).

하지만 자동차 계기판의 바늘은 계속 움직입니다. 신호등 앞에서는 0, 고속도로에서는 110을 가리킵니다. 계기판이 보여 주는 것은 바로 그 순간의 속력입니다. 이 "순간의 빠르기"를 구하는 방법이 미분입니다.

그래프의 기울기

시간을 가로축, 간 거리를 세로축에 그리면 그래프가 생깁니다. 그래프가 가파를수록 빨리 달린 것입니다.

가파른 정도를 기울기라고 합니다. 기울기는 "옆으로 간 만큼에 비해 위로 얼마나 올라갔나"입니다.

\[\text{기울기} = \frac{\text{세로로 변한 양}}{\text{가로로 변한 양}} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

\(\Delta\)(델타)는 "변한 양"이라는 뜻입니다. 1시간(\(\Delta x\)) 동안 100 km(\(\Delta y\))를 갔다면 기울기는 100 km/h, 곧 속력입니다.

\(\Delta x\)를 아주아주 작게 → \(\dfrac{dy}{dx}\)

그래프가 직선이면 어디서 재도 기울기가 같습니다. 그런데 곡선이면 재는 곳마다 기울기가 다릅니다.

그래서 \(\Delta x\)를 점점 작게 합니다. 1시간 → 1분 → 1초 → 0.001초…. 두 점이 거의 붙으면, 두 점을 잇는 선(할선)은 곡선에 한 점에서 살짝 닿는 선(접선)이 됩니다. 접선의 기울기가 그 순간의 빠르기입니다.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} \;\xrightarrow{\ \Delta x \text{를 아주 작게}\ }\; \frac{dy}{dx}\]

\(\dfrac{dy}{dx}\)는 "디와이 디엑스"라고 읽습니다. \(d\)는 "아주아주 작은 \(\Delta\)"라고 생각하면 됩니다. 분수처럼 보이지만 \(d\)와 \(y\)를 곱한 것이 아닙니다. 이렇게 구한 기울기를 미분(또는 미분계수)이라고 하고, \(y'\)(와이 프라임)으로 줄여 쓰기도 합니다. 맥스웰 방정식의 \(\partial\)(라운드)도 같은 뜻입니다. \(d\)와 \(\partial\)의 작은 차이는 수식 기호 읽기 편을 참고하세요.

👉 점을 움직이고 Δx를 줄여, 주황 할선이 빨간 접선에 붙는 모습을 보세요!

보라 점 = 기울기를 재는 곳, 주황 = 할선(두 점을 이은 선), 빨강 = 접선(그 순간의 기울기). sin x의 x는 라디안 단위입니다(삼각함수와 파동 편의 ①).

🧮 계산 예시 — 떨어뜨린 공의 1초 순간 속력

상황: 공을 가만히 놓으면 \(t\)초 동안 약 \(h = 5t^2\) m 떨어집니다(공기 저항은 무시하고, 중력가속도 9.8을 10으로 어림). 1초가 되는 순간 공은 얼마나 빠를까요?

  1. 1초 → 2초(\(\Delta t = 1\)): \(\dfrac{5 \times 2^2 - 5 \times 1^2}{1} = \dfrac{20 - 5}{1} = 15\ \text{m/s}\) → 1초와 2초 사이의 평균 속력입니다.
  2. 1초 → 1.1초(\(\Delta t = 0.1\)): \(\dfrac{5 \times 1.21 - 5}{0.1} = \dfrac{0.5}{0.1} = 10.5\ \text{m/s}\)
  3. 1초 → 1.01초(\(\Delta t = 0.01\)): \(\dfrac{5 \times 1.0201 - 5}{0.01} = 10.05\ \text{m/s}\)
  4. 1초 → 1.001초(\(\Delta t = 0.001\)): \(10.005\ \text{m/s}\) → \(\Delta t\)를 줄일수록 10에 다가갑니다.

📐 수학 도움말: 1초 뒤의 평균 속력은 늘 \(10 + 5\Delta t\)입니다. \(\Delta t\)가 0에 가까워지면 \(5\Delta t\)도 0에 가까워져 10만 남습니다.

👉 정리: 1초가 되는 순간 공의 속력은 10 m/s(시속 36 km)입니다. 이것이 \(h = 5t^2\)을 \(t = 1\)에서 미분한 값입니다.

② 꼭 알아 둘 미분 규칙 세 가지

매번 \(\Delta x\)를 줄여 가며 계산하기는 번거롭습니다. 다행히 자주 쓰는 모양은 답이 정해져 있습니다.

규칙 1 — \((x^2)' = 2x\)

\(y = x^2\)의 기울기는 어디서나 \(2x\)입니다. \(x = 1\)이면 2, \(x = 3\)이면 6입니다. 위 그래프에서 점을 옮겨 확인해 보세요. 오른쪽으로 갈수록 곡선이 가팔라지는 만큼 기울기도 커집니다.

규칙 2 — \((x^n)' = n\,x^{n-1}\)

"지수를 앞으로 내리고, 지수는 1 줄인다"고 외우면 됩니다(지수는 거듭제곱과 제곱근 편 참고).

거듭제곱의 미분
원래 식미분(기울기)한마디
\(x^2\)\(2x\)규칙 1
\(x^3\)\(3x^2\)3을 내리고 지수는 2
\(x\)\(1\)직선 \(y = x\)는 기울기가 늘 1
\(7\)(상수)\(0\)변하지 않으면 기울기 0
\(5t^2\)\(10t\)앞의 숫자 5는 그대로 곱해 둡니다(\(5 \times 2t\))

떨어지는 공의 \(h = 5t^2\)을 미분하면 \(v = 10t\)입니다. 1초에 10 m/s, 2초에 20 m/s로, 1초마다 10 m/s씩 빨라집니다. 이 "1초마다 빨라지는 양"(10 m/s²)이 가속도입니다. 거리를 미분하면 속력, 속력을 미분하면 가속도입니다.

규칙 3 — \(\sin\)을 미분하면 \(\cos\)

위 그래프에서 y = sin x를 골라 점을 움직여 보세요. 기울기가 가장 큰 곳은 파동이 0을 지나며 올라가는 곳입니다(기울기 1). 꼭대기와 골짜기에서는 잠깐 평평해져 기울기가 0입니다. 내려가며 0을 지날 때는 기울기가 −1입니다.

이 기울기 값 1 → 0 → −1 → 0 → 1을 따라 그리면 바로 \(\cos x\) 곡선이 됩니다. 그래서 \((\sin x)' = \cos x\)입니다. \(\sin\)과 \(\cos\)은 삼각함수와 파동 편에서 본 "원 위를 도는 점의 높이"입니다. 이 규칙은 각도를 라디안으로 잴 때 성립합니다.

더 알아보기 — 왜 \(x^2\)의 기울기가 \(2x\)일까? 그리고 곱·몫·연쇄 법칙

\(x\)에서 \(x + h\)까지의 할선 기울기를 구하면 \(\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \dfrac{2xh + h^2}{h} = 2x + h\)입니다. \(h\)를 0에 가깝게 줄이면 \(2x\)만 남습니다. 위 공의 예에서 \(10 + 5\Delta t\)가 10이 된 것과 같은 이치입니다.

식이 섞여 있을 때 쓰는 규칙도 있습니다. 여기서는 이름과 모양만 소개합니다.

  • 곱의 법칙: \((fg)' = f'g + fg'\)
  • 몫의 법칙: \(\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}\)
  • 연쇄 법칙(겉 미분 × 속 미분): \(\big(\sin(2\pi f t)\big)' = 2\pi f\cos(2\pi f t)\) — 아래 ③에서 바로 씁니다.

③ 미분이 전파를 만든다

변하는 자기장이 전기를 만든다

코일 옆에 자석을 가만히 두면 전기가 생기지 않습니다. 자석을 움직여 자기장이 변할 때만 전기가 생깁니다. 더 빨리 움직일수록 더 센 전기가 생깁니다. 패러데이가 1831년에 발견한 전자기 유도입니다.

"자기장이 얼마나 빨리 변하나"가 바로 자기장의 미분 \(\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\)입니다. 맥스웰 방정식 \(\nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\)는 "자기장이 변하는 빠르기만큼 전기장이 생긴다"는 뜻입니다. 자석이 멈춰 있으면 \(\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0\)이라 전기장도 생기지 않습니다 (전파는 어떻게 만들어질까? 편). 자석을 빨리 넣을수록 전압이 커지는 계산은 수식 기호 읽기 편의 계산 예시에 있습니다.

전류가 흔들려야 전파가 나온다

②에서 속력을 미분하면 가속도라고 했습니다. 전파가 나오는지는 전자가 움직이느냐가 아니라 움직임이 바뀌느냐(가속)에 달려 있습니다 (자연 속 진동과 교류 편).

안테나에 교류를 흘리면 전자가 앞뒤로 흔들리며 계속 빨라졌다 느려졌다 합니다. 그러면 둘레의 전기장과 자기장이 시간에 따라 변하고, 그 변화가 퍼져 나가 전파가 됩니다(안테나의 전파 송신 편). 한 방향으로 일정하게 흐르는 직류는 속력이 바뀌지 않아(가속도 0) 전파를 거의 내지 않습니다.

주파수가 높을수록 변화가 빠르다

진폭 \(A\), 주파수 \(f\)인 파동 \(y = A\sin(2\pi f t)\)를 미분하면 앞에 \(2\pi f\)가 붙습니다.

\[y = A\sin(2\pi f t) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt} = 2\pi f\,A\cos(2\pi f t)\]

\(\cos\)의 가장 큰 값은 1이므로, 파동이 변하는 가장 큰 빠르기는 \(2\pi f A\)입니다. 진폭이 같아도 주파수가 2배면 변화도 2배 빠릅니다. 1초에 \(f\)바퀴를 돌아야 하니, 같은 높이를 오르내리려면 그만큼 서둘러야 하는 것입니다.

🧮 계산 예시 — 1 kHz 소리 신호와 100 MHz FM 전파, 누가 더 빨리 변할까?

상황: 진폭이 똑같이 \(A = 1\)인 두 파동이 있습니다. 하나는 1 kHz(소리), 하나는 100 MHz(FM 방송 전파)입니다.

  1. 1 kHz: 가장 큰 빠르기 \(2\pi f A = 2 \times 3.14 \times 1{,}000 \times 1 \approx 6{,}280\) (1초당) → 1초 동안 그 빠르기를 유지한다면 6,280만큼 변한다는 뜻입니다.
  2. 100 MHz: \(2\pi \times 10^8 \approx 6.28 \times 10^8\) (1초당)
  3. 비교: \(\dfrac{6.28 \times 10^8}{6.28 \times 10^3} = 10^5\) → 10만 배 빨리 변합니다.

📐 수학 도움말: 나눌 때 \(2\pi\)는 위아래에서 지워지므로, 빠르기의 비는 주파수의 비(\(10^8 \div 10^3 = 10^{8-3} = 10^5\))와 같습니다.

👉 정리: 주파수가 높을수록 전기장·자기장이 빨리 변합니다. 변화가 빠를수록 \(\partial \mathbf{B}/\partial t\)가 커져, 전기와 자기가 서로를 만들며 퍼져 나가기 쉽습니다.

더 알아보기 — 코일의 방해 \(X_L = 2\pi f L\)에 왜 \(2\pi f\)가 붙을까?

코일은 "전류가 변하는 빠르기"에 비례하는 전압으로 변화를 막습니다: \(V = L\dfrac{dI}{dt}\). 전류가 \(I = I_0\sin(2\pi f t)\)이면 미분해서 \(V = 2\pi f L\, I_0\cos(2\pi f t)\)가 됩니다.

그래서 전압과 전류의 크기 비, 곧 코일의 리액턴스는 \(X_L = 2\pi f L\)입니다. 1 MHz, 100 μH면 약 628 Ω입니다(전기/회로 공식 편 ⑦의 계산 예시). 직류(\(f = 0\))에서는 전류가 변하지 않아 코일이 전혀 막지 않습니다.

④ 적분 — 잘게 나누어 쌓아 더하기 = 넓이

속력 그래프 아래 넓이 = 간 거리

시속 60 km로 2시간 달리면 \(60 \times 2 = 120\ \text{km}\)를 갑니다. 속력-시간 그래프로 그리면 높이 60, 폭 2인 직사각형이고, 그 넓이가 120입니다. 속력 그래프 아래의 넓이가 간 거리입니다.

속력이 계속 바뀌면 그래프가 비스듬하거나 휘어집니다. 이때는 시간을 잘게 나누어 조각마다 "속력 × 짧은 시간"으로 작은 직사각형을 만들고, 모두 더합니다. 조각을 잘게 나눌수록 직사각형 합이 정확한 넓이에 가까워집니다. 이것이 적분입니다.

👉 직사각형 개수 n을 늘려, 넓이의 합이 정확한 값에 다가가는 모습을 보세요!

직사각형 높이

초록 직사각형 = 조각마다 "속력 × 짧은 시간"(그 조각 동안 간 거리의 어림), 파란 선 = 실제 속력. 왼쪽 끝 높이로 쌓으면 조금 모자라고, 오른쪽 끝 높이로 쌓으면 조금 넘칩니다.

🧮 계산 예시 — 0초에서 5초까지 \(v = 2t\)로 달린 거리

상황: 멈춰 있던 자전거가 1초마다 2 m/s씩 빨라집니다(\(v = 2t\)). 5초 동안 몇 m를 갈까요?

  1. 1초씩 5조각, 왼쪽 끝 높이: \(2 \times 0 + 2 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 + 2 \times 4 = 20\ \text{m}\) → 조각마다 처음 속력을 썼으니 조금 모자랍니다.
  2. 오른쪽 끝 높이: \(2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30\ \text{m}\) → 이번에는 조금 넘칩니다.
  3. 조각을 늘리면: 10조각 22.5 m / 27.5 m, 100조각 24.75 m / 25.25 m → 두 값이 25로 모입니다.
  4. 그래프 아래는 밑변 5 s, 높이 10 m/s인 삼각형이므로 \(\dfrac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25\ \text{m}\) → 정확한 넓이입니다.

📐 수학 도움말: \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)처럼 일정하게 늘어나는 수의 합은 수열 편의 방법으로 빨리 구할 수 있습니다. 모두 더하기 기호 Σ는 수식 기호 읽기 편에 있습니다.

👉 정리: 자전거는 5초 동안 25 m를 갑니다. 이것을 적분으로 쓰면 \(\displaystyle\int_0^5 2t\,dt = 25\)입니다.

\(\int\) 기호 읽기

\(\displaystyle\int_0^5 2t\,dt\)는 이렇게 읽습니다. \(2t\)는 그 순간의 속력(직사각형 높이), \(dt\)는 아주 짧은 시간 조각(직사각형 폭)입니다. \(2t\,dt\)는 직사각형 한 개의 넓이이고, \(\int\)는 그것을 0초부터 5초까지 모두 더하라는 뜻입니다.

가장 간단한 예로 \(y = x\) 직선 아래의 넓이를 0부터 \(a\)까지 구하면, 밑변 \(a\), 높이 \(a\)인 삼각형이므로 \(\dfrac{a^2}{2}\)입니다.

\[\int_0^a x\,dx = \frac{a^2}{2} \qquad \text{예: } \int_0^4 x\,dx = \frac{16}{2} = 8\]

💡 범위를 정하지 않고 \(\int x\,dx = \dfrac{x^2}{2} + C\)처럼 쓰기도 합니다. 끝의 \(C\)는 "어디서부터 쌓기 시작했는지에 따라 달라지는 덧붙은 상수"입니다.

전력 × 시간 = 에너지

전기 요금의 kWh도 넓이입니다. 1,500 W 에어컨을 8시간 켜면 \(1.5\ \text{kW} \times 8\ \text{h} = 12\ \text{kWh}\)로, 전력-시간 그래프의 직사각형 넓이입니다 (전기/회로 공식 편). 전력이 바뀌면 바뀐 구간마다 넓이를 따로 구해 더합니다.

🧮 계산 예시 — 충전 속도가 바뀌는 휴대폰 충전

상황: 휴대폰이 처음 1시간은 10 W로 빠르게, 거의 다 찬 뒤 30분은 5 W로 천천히 충전되었습니다. 들어간 에너지는 얼마일까요?

  1. 앞 구간 넓이: \(10\ \text{W} \times 1\ \text{h} = 10\ \text{Wh}\)
  2. 뒤 구간 넓이: \(5\ \text{W} \times 0.5\ \text{h} = 2.5\ \text{Wh}\) → 30분은 0.5시간입니다.
  3. 모두 더하기: \(10 + 2.5 = 12.5\ \text{Wh} = 0.0125\ \text{kWh}\)

📐 수학 도움말: 전력 그래프가 계단 두 개라 직사각형 두 개면 충분합니다. 전력이 매 순간 조금씩 바뀌면 조각을 잘게 나누어 더하는데, 그것이 \(\int P\,dt\)입니다.

👉 정리: 에너지는 전력 그래프 아래의 넓이입니다. 일정하면 곱하기, 바뀌면 쌓아 더하기(적분)입니다.

⑤ 미분과 적분은 서로 반대

②에서 거리를 미분하면 속력이 나왔습니다. ④에서 속력을 적분(넓이)하면 거리가 나왔습니다. 두 일은 서로 거꾸로입니다. 실제로 \(t^2\)을 미분하면 \(2t\)이고, \(2t\) 아래의 넓이를 0부터 5까지 쌓으면 \(5^2 = 25\)입니다. 이 관계를 미적분의 기본정리라고 합니다. "수도꼭지를 얼마나 세게 틀었나"(미분)와 "물통에 물이 얼마나 찼나"(적분)를 생각하면 쉽습니다.

더 알아보기 — 넓이를 빨리 구하는 방법

미분해서 \(f\)가 되는 식 \(F\)를 찾으면, \(a\)부터 \(b\)까지의 넓이는 직사각형을 쌓지 않고도 끝값의 차로 바로 나옵니다.

\[\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a) \qquad \text{예: } \int_1^3 2t\,dt = 3^2 - 1^2 = 8\]

검산: 1초~3초 사이 \(v = 2t\) 아래는 윗변 2, 아랫변 6, 높이 2인 사다리꼴이라 \(\dfrac{(2 + 6) \times 2}{2} = 8\)입니다. FM 편에서 "\(\cos\)를 더해 간 값은 \(\sin(2\pi f_m t)/(2\pi f_m)\)"이라고 한 것도, 그 식을 미분하면 \(\cos(2\pi f_m t)\)가 되기 때문입니다.

⑥ 전파망원경은 오래 쌓아 더한다

우주에서 오는 전파는 아주 약해서 잡음에 묻혀 있습니다. 그래서 전파망원경은 신호를 오래 쌓아 더합니다. 이것도 적분입니다.

  • 상관기 — 두 망원경의 신호를 곱해 계속 더합니다(관측데이터의 상관처리 편). 1초에 수십억 개씩 들어오는 값을 보통 1초 안팎씩 쌓아 숫자 몇 개로 줄입니다. 이렇게 쌓는 시간을 적분 시간이라 하고, 관측 자료에도 기록됩니다(데이터분석 편의 INTTIM).
  • 오래 쌓을수록 잡음이 준다 — 잡음은 들쭉날쭉해서 쌓을수록 서로 지워지고, 천체 신호는 꾸준히 쌓입니다. 관측 시간 \(\tau\)(타우)가 4배면 잡음은 절반입니다: \(\Delta T \approx \dfrac{T_{\text{sys}}}{\sqrt{\Delta\nu\,\tau}}\)(진폭 편, 제곱근은 거듭제곱과 제곱근 편).
  • 스펙트럼선의 넓이 = 세기의 총량 — 분광기는 주파수를 좁은 채널로 나누어 채널마다 세기를 잽니다(파형 분석기(Spectrometer) 편). "채널 세기 × 채널 폭"을 모두 더하면 선 아래의 넓이가 됩니다. 선이 좁고 높든 넓고 낮든, 넓이가 같으면 내보낸 전파의 총량이 같습니다. 그래서 천문학자는 선의 높이보다 넓이(적분 세기)로 가스의 양을 어림합니다.
  • FM의 각도 — 주파수가 계속 바뀌면, 각도는 "그 순간의 주파수 × 짧은 시간"을 쌓아 더해 구합니다(FM 주파수변조 편의 \(\theta(t) = 2\pi\int_0^t f(\tau)\,d\tau\)).

⑦ 미분·적분은 실제로 어디에 쓰일까?

미분은 "지금 얼마나 빨리 변하는가"를, 적분은 "그동안 얼마나 쌓였는가"를 계산합니다. 변하는 양이 있는 곳이면 어디든 둘 중 하나가 쓰입니다. 분야별로 정리하면 다음과 같습니다.

분야별 미분·적분 응용
분야미분(변화 빠르기)적분(쌓인 양)
운동·역학 위치 → 속도 → 가속도
\(v = \dfrac{dx}{dt},\ a = \dfrac{dv}{dt}\)		 가속도 → 속도 → 위치(거리)
일 \(W = \int F\,dx\)
전기·전자 축전기 \(I = C\dfrac{dV}{dt}\), 코일 \(V = L\dfrac{dI}{dt}\), 패러데이 유도 \(\mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi}{dt}\) 전하 \(Q = \int I\,dt\), 에너지(전력량) \(E = \int P\,dt\), 사인파의 실효값
통신·신호처리 FM에서 위상의 변화율 = 주파수 푸리에 변환(신호를 주파수 성분으로 쪼개기), 필터, 상관(두 신호를 곱해 누적)
전파천문 지구 자전에 따른 신호 도착 시간차의 변화율 → 간섭무늬가 흔들리는 빠르기(프린지 주파수) 적분 시간(잡음 줄이기), 스펙트럼선 넓이(가스의 양), 상관기의 곱-누적, 간섭계 영상 합성
우주·위성 위성의 속도·가속도 가속도를 적분해 궤도 계산(우주선 항법), GPS의 위치 보정
컴퓨터·인공지능 경사하강법: 오차의 기울기(미분)를 따라 내려가며 학습 확률밀도 아래 넓이 = 확률, 기댓값
교통·자동차 위치 → 순간속도(속도계), 속도 → 가속도, 단속 카메라, 도로 곡률 \(k = \dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}\) 속도 → 이동거리, 제동 거리, 센서 신호를 쌓아 위험 판단(자율주행·긴급제동)
의학·생활 환자 상태의 변화 속도(맥박 변화, 약물 농도가 줄어드는 속도), 인구 증가율 CT(여러 방향의 투과량을 합쳐 단면 복원), 약물 농도 곡선 아래 넓이(AUC), 전력량계(kWh)

전기·전자: 부품 값이 곧 미분·적분입니다

축전기에서 전하는 전류를 쌓은 것(\(Q = \int I\,dt\))이고, 전류는 전하의 변화율(\(I = dQ/dt\))입니다. 이 한 줄이 곧 이 페이지의 '미분과 적분은 반대'입니다. 코일과 축전기가 들어간 교류 회로의 공식(리액턴스, 공진)은 모두 여기서 나옵니다. 자세한 유도는 축전기·코일과 교류의 만남 편에서 볼 수 있습니다.

🧮 계산 예시 — 축전기를 충전할 때 전류는 얼마일까?

상황: 1 μF 축전기의 전압을 1 ms(0.001초) 동안 0 V에서 10 V까지 일정하게 올립니다.

  1. 전압의 변화율(기울기): \(\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{10\ \text{V}}{0.001\ \text{s}} = 10{,}000\ \text{V/s}\)
  2. 전류: \(I = C\dfrac{dV}{dt} = 10^{-6} \times 10^{4} = 0.01\ \text{A} = 10\ \text{mA}\)
  3. 같은 전압 변화를 10배 빠르게(0.1 ms) 하면 기울기가 10배가 되어 전류도 100 mA가 됩니다. 그래서 빠른 신호일수록 축전기가 길을 잘 열어 줍니다.
  4. 반대로 이 전류를 1 ms 동안 쌓으면(적분) \(Q = 0.01 \times 0.001 = 10^{-5}\ \text{C}\)이고, \(Q = CV = 10^{-6} \times 10 = 10^{-5}\ \text{C}\)로 같은 값이 나옵니다.

전파천문: 간섭무늬와 영상은 미분·적분 위에 서 있습니다

  • 적분 시간 — 위 ⑥처럼 약한 신호를 오래 쌓아 잡음을 줄입니다. 적분 시간이 4배면 잡음이 절반이 됩니다.
  • 프린지 주파수 — 두 망원경에 전파가 도착하는 시간차는 지구가 도는 동안 계속 변합니다. 이 시간차가 변하는 빠르기(미분)에 관측 주파수를 곱한 만큼 상관 결과가 진동하고, 상관기는 이 변화를 미리 계산해 보정합니다. 천체가 하늘에서 움직이는 것을 '기선 길이의 변화'로 읽는 셈입니다(간섭계 편).
  • 푸리에 변환으로 영상 만들기 — 간섭계가 재는 값은 하늘의 밝기 분포를 적분(푸리에 변환)한 결과이고, 이를 거꾸로 변환해 천체의 영상을 복원합니다. 기초 공식은 \(\int\)로 쓰입니다(푸리에 변환과 전파 편).
  • 스펙트럼선 적분 세기 — 선 아래 넓이(K·km/s)로 가스의 양을 어림합니다(위 문제 3번).

컴퓨터·인공지능: 기울기를 따라 내려가며 배웁니다

인공지능은 "답이 틀린 정도"(오차)를 숫자로 만들고, 그 오차가 가장 작아지는 방향을 기울기(미분)로 찾아 조금씩 값을 고쳐 나갑니다. 산에서 가장 가파르게 내려가는 방향으로 한 걸음씩 걷는 것과 같아서 경사하강법이라고 부릅니다. 기울기 0인 곳(\(y = x^2\)의 꼭짓점)이 가장 낮은 곳이라는 ①②의 생각이 그대로 쓰입니다.

일상에서

  • 자동차 계기판과 주행 거리계 — 계기판은 거리의 미분(속력), 주행 거리계는 속력의 적분(거리)입니다.
  • 전력량계 — 집 전기 계량기는 순간 전력을 계속 더해 \(\int P\,dt\)(kWh)를 보여 주고, 요금이 그 값으로 매겨집니다.
  • CT 촬영 — 여러 방향에서 엑스선이 몸을 지나며 줄어든 양(경로를 따라 쌓은 값, 적분)을 모아 몸속 단면을 계산해 냅니다.
  • 일기예보·기후 — 기온·기압이 변하는 빠르기(미분)를 담은 방정식을 시간에 따라 적분해 내일의 날씨를 계산합니다.

🧮 실제 값을 넣어 계산해 보기

위의 응용을 숫자로 직접 확인해 봅니다. 값은 이 사이트의 다른 편에 나온 수치나 널리 쓰이는 근삿값입니다.

① 전파천문(미분) — KVN 가장 긴 기선(약 504 km)의 프린지 주파수

상황: 22 GHz로 관측합니다. 지구는 \(\omega_E = 7.292\times10^{-5}\ \text{rad/s}\)로 자전하고, 두 망원경의 신호 도착 시간차는 \(\tau_g = \dfrac{B}{c}\cos\theta\) 꼴로 변합니다(\(\theta\)는 기선과 천체 방향 사이의 각, 자전하면서 바뀜).

  1. 가장 큰 시간차: \(\tau_{\max} = \dfrac{B}{c} = \dfrac{504\times10^{3}}{3\times10^{8}} \approx 1.68\times10^{-3}\ \text{s} = 1.68\ \text{ms}\)
  2. 각도가 바뀌는 빠르기는 최대 \(\omega_E\)이므로, 시간차가 변하는 빠르기(미분)의 상한은 \(\left|\dfrac{d\tau_g}{dt}\right| \le \dfrac{B}{c}\,\omega_E = 1.68\times10^{-3} \times 7.292\times10^{-5} \approx 1.2\times10^{-7}\) (초당 초, 단위 없음)
  3. 프린지 주파수 = 관측 주파수 × 시간차의 변화율이므로 \(f_{\text{fringe}} \le 22\times10^{9} \times 1.2\times10^{-7} \approx 2.7\times10^{3}\ \text{Hz}\)
  4. 결과: 상관 결과는 최대 약 2.7 kHz(1초에 2,700번)까지 진동합니다. 실제 값은 천체의 적위와 시각에 따라 이보다 작습니다. 86 GHz라면 같은 계산으로 약 4배인 10 kHz 안팎까지 커집니다. 그래서 상관기는 이 변화를 미리 계산해 지우고, 남은 느린 변화만 적분해서 가시성으로 만듭니다.

② 전파천문(적분) — 적분 시간을 늘리면 잡음이 얼마나 줄어들까?

상황(가정한 값): 시스템 온도 \(T_{\text{sys}} = 100\ \text{K}\), 대역폭 \(\Delta\nu = 16\ \text{MHz}\). 잡음은 \(\Delta T \approx \dfrac{T_{\text{sys}}}{\sqrt{\Delta\nu\,\tau}}\)입니다.

적분 시간 \(\tau\)\(\Delta\nu\,\tau\)\(\sqrt{\Delta\nu\,\tau}\)잡음 \(\Delta T\)
1 초\(1.6\times10^{7}\)4,000100 ÷ 4,000 = 25 mK
4 초\(6.4\times10^{7}\)8,000100 ÷ 8,000 = 12.5 mK
1 시간(3,600 초)\(5.76\times10^{10}\)240,000100 ÷ 240,000 ≈ 0.42 mK

결과: 시간을 4배로 하면 잡음이 정확히 절반이 되고, 1초에서 1시간으로 3,600배 늘리면 잡음은 \(\sqrt{3600} = 60\)분의 1로 줄어듭니다. 그래서 약한 천체는 몇 시간씩 쌓아 관측합니다.

③ 일상(적분) — 전기밥솥이 쓴 전력량

상황(가정한 값): 취사할 때는 1,000 W로 30분, 이후 보온할 때는 50 W로 5시간 30분(5.5시간) 동안 쓰입니다. 전력-시간 그래프 아래의 넓이가 에너지(전력량)입니다.

  1. 취사: \(1000\ \text{W} \times 0.5\ \text{h} = 500\ \text{Wh}\)
  2. 보온: \(50\ \text{W} \times 5.5\ \text{h} = 275\ \text{Wh}\)
  3. 합계: \(500 + 275 = 775\ \text{Wh} = 0.775\ \text{kWh}\)
  4. 결과: 1 kWh에 120원이라 가정하면 \(0.775 \times 120 = 93\)원입니다. 전력이 두 구간에서 각각 일정했으므로 직사각형 두 개의 넓이를 더하는 것이 곧 적분입니다.

④ 교통 안전(미분) — 속도계는 1.5초 순간의 속도를 어떻게 알까?

상황: 자동차의 위치를 1초, 2초, 3초에 재었더니 10 m, 25 m, 45 m였습니다(출발 후 \(s(t) = 2.5t^2 + 7.5t\)로 움직였다고 가정하면 세 값이 모두 맞습니다).

  1. 평균속력: 1~2초는 \(\dfrac{25 - 10}{1} = 15\ \text{m/s}\), 2~3초는 \(\dfrac{45 - 25}{1} = 20\ \text{m/s}\). 구간마다 값이 다르므로 "그 순간"의 속도는 아닙니다.
  2. 미분: \(v(t) = \dfrac{ds}{dt} = 5t + 7.5\)
  3. 순간속력: \(v(1.5) = 5 \times 1.5 + 7.5 = 15\ \text{m/s}\) (= 54 km/h), \(v(2.5) = 20\ \text{m/s}\)(= 72 km/h)
  4. 가속도: \(a = \dfrac{dv}{dt} = 5\ \text{m/s}^2\). 1초마다 속력이 5 m/s씩 늘어납니다.
  5. 결과: 구간을 짧게 줄여 갈수록 평균속력이 순간속력에 가까워지고, 그 극한이 미분입니다. 속도계와 단속 카메라(두 센서 사이 거리 ÷ 통과 시간)도 같은 생각입니다. 예를 들어 센서 간격 2 m를 0.072초에 지나면 \(2 \div 0.072 \approx 27.8\ \text{m/s}\)(100 km/h)입니다.

⑤ 교통 안전(적분) — 시속 100 km에서 멈추려면 몇 m가 필요할까?

상황(가정한 값): 시속 100 km(\(v_0 \approx 27.8\ \text{m/s}\)), 마른 도로의 마찰계수 \(\mu = 0.7\), \(g = 9.8\ \text{m/s}^2\), 운전자 반응 시간 1초.

  1. 반응 거리(그동안은 속력 그대로): \(27.8 \times 1 = 27.8\ \text{m}\)
  2. 브레이크를 밟으면 \(a = -\mu g = -0.7 \times 9.8 = -6.86\ \text{m/s}^2\)이므로 \(v(t) = 27.8 - 6.86\,t\)
  3. 멈추는 시간: \(v = 0\)에서 \(t = 27.8 \div 6.86 \approx 4.05\ \text{초}\)
  4. 제동 거리(적분): \(\displaystyle\int_0^{4.05}(27.8 - 6.86\,t)\,dt = 27.8 \times 4.05 - 3.43 \times 4.05^2 \approx 112.6 - 56.3 \approx 56\ \text{m}\)
  5. 공식으로 확인: \(D = \dfrac{v_0^2}{2\mu g} = \dfrac{27.8^2}{2 \times 6.86} \approx 56\ \text{m}\) — 같은 값입니다.
  6. 결과: 정지 거리 = 반응 거리 + 제동 거리 \(\approx 27.8 + 56 \approx 84\ \text{m}\).

\(D\)는 \(v_0^2\)에 비례합니다. 시속 50 km(13.9 m/s)이면 \(D = 13.9^2 \div 13.72 \approx 14\ \text{m}\)로 속도가 절반이면 제동 거리는 4분의 1입니다. 비 오는 날 \(\mu = 0.4\)로 가정하면 시속 100 km의 제동 거리는 \(27.8^2 \div (2 \times 0.4 \times 9.8) \approx 98\ \text{m}\)로 길어집니다.

⑥ 교통 안전(미분 두 번) — 도로가 얼마나 급하게 굽었는지 재기

상황: 도로의 모양을 \(y = \dfrac{x^2}{200}\)(단위 m)로 놓습니다. 굽은 정도(곡률)는 \(k = \dfrac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}}\)입니다.

  1. 첫 번째 미분(기울기): \(y' = \dfrac{x}{100}\), 두 번째 미분(기울기가 변하는 정도): \(y'' = \dfrac{1}{100} = 0.01\)
  2. 꼭대기 \(x = 0\)에서 \(y' = 0\)이므로 \(k = \dfrac{0.01}{(1 + 0)^{3/2}} = 0.01\ \text{m}^{-1}\)
  3. 곡률 반지름 \(R = 1/k = 100\ \text{m}\)
  4. 결과: 이 지점은 반지름 100 m인 원의 일부처럼 굽어 있습니다. \(R\)이 작을수록(곡률이 클수록) 급한 커브라서 도로 설계자는 \(R\)에 맞춰 제한 속도와 경사(편경사)를 정합니다.

✏️ 스스로 풀어 보기

  1. \(y = x^3\)에서 \(x = 2\)인 곳의 기울기는 얼마일까요? 떨어지는 공(\(h = 5t^2\))의 3초 순간 속력도 구해 보세요.
    정답 보기 \((x^3)' = 3x^2\)이므로 \(3 \times 2^2 = 12\)입니다. 공은 \(v = 10t\)이므로 3초에 \(10 \times 3 = 30\ \text{m/s}\)입니다.
  2. 멈춰 있던 자동차가 \(v = 4t\) (m/s)로 빨라집니다. 0초부터 5초까지 몇 m를 갈까요?
    정답 보기 5초 때 속력은 \(4 \times 5 = 20\ \text{m/s}\)입니다. 그래프 아래는 밑변 5, 높이 20인 삼각형이므로 \(\dfrac{1}{2} \times 5 \times 20 = 50\ \text{m}\)입니다. (\(\int_0^5 4t\,dt = 2 \times 5^2 = 50\)으로 구해도 같습니다.)
  3. 어떤 스펙트럼선을 폭 1 km/s짜리 채널 5개로 쟀더니 세기가 1, 3, 4, 3, 1 K였습니다. 선의 넓이(적분 세기)는 얼마일까요?
    정답 보기 채널마다 "세기 × 폭"을 더합니다. \((1 + 3 + 4 + 3 + 1) \times 1 = 12\ \text{K·km/s}\)입니다. 전파천문에서는 실제로 K·km/s라는 단위를 씁니다.

🔗 이 수학이 쓰이는 곳

📋 공식 카드

기울기와 미분

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} \;\to\; \frac{dy}{dx}\]

뜻: 변한 양 ÷ 걸린 양. 간격을 아주 작게 하면 그 순간의 변화 빠르기입니다.

쉬운 예: 2시간에 120 km → 평균 60 km/h. 계기판 숫자는 순간의 빠르기입니다.

활용: 속력·가속도, 자기장이 변하는 빠르기 \(\partial \mathbf{B}/\partial t\)

거듭제곱의 미분

\[(x^n)' = n\,x^{n-1}\]

뜻: 지수를 앞으로 내리고, 지수는 1 줄입니다.

쉬운 예: \((x^2)' = 2x\), \((x^3)' = 3x^2\), \((5t^2)' = 10t\)

활용: 떨어지는 공 \(h = 5t^2\) → 순간 속력 \(v = 10t\)

사인의 미분

\[(\sin x)' = \cos x, \qquad \big(\sin 2\pi f t\big)' = 2\pi f\cos 2\pi f t\]

뜻: 파동은 0을 지날 때 가장 가파르고, 꼭대기에서 평평합니다(각도는 라디안).

쉬운 예: \(x = 0\)에서 기울기 \(\cos 0 = 1\), 꼭대기 \(x = \pi/2\)에서 \(\cos(\pi/2) = 0\)

활용: 주파수가 높을수록 변화가 \(2\pi f\)배 빠름, 코일의 \(X_L = 2\pi f L\)

곱·몫·연쇄 법칙(참고)

\[(fg)' = f'g + fg', \quad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\]

뜻: 식이 곱해지거나 나뉘어 있을 때의 미분입니다. 연쇄 법칙은 "겉 미분 × 속 미분"입니다.

쉬운 예: \((x \cdot x)' = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x\) — 규칙 1과 같습니다.

활용: \(\sin(2\pi f t)\)의 미분에 붙는 \(2\pi f\)(연쇄 법칙)

적분 = 넓이

\[\int_a^b v\,dt \approx \sum v \times \Delta t\]

뜻: 잘게 나눈 직사각형 넓이를 모두 더합니다. 조각이 작을수록 정확합니다.

쉬운 예: \(v = 2t\), 0~5 s → \(\int_0^5 2t\,dt = 25\ \text{m}\)

활용: 거리 = 속력의 넓이, 에너지(kWh) = 전력의 넓이, 스펙트럼선 넓이

\(x\)의 적분과 기본정리

\[\int_0^a x\,dx = \frac{a^2}{2}, \qquad \int_a^b f\,dt = F(b) - F(a)\]

뜻: 직선 아래는 삼각형 넓이. 미분해서 \(f\)가 되는 \(F\)를 알면 끝값의 차가 넓이입니다.

쉬운 예: \(\int_0^4 x\,dx = 8\), \(\int_1^3 2t\,dt = 9 - 1 = 8\)

활용: 미분과 적분은 반대 — 거리 ⇄ 속력, FM의 위상 ⇄ 주파수

핵심 정리

  • 미분은 "지금 이 순간 얼마나 빨리 변하나"이고, 그래프에서는 접선의 기울기입니다. \(\Delta y/\Delta x\)에서 \(\Delta x\)를 아주 작게 한 것이 \(dy/dx\)입니다.
  • \((x^n)' = n\,x^{n-1}\), \((\sin x)' = \cos x\). 거리를 미분하면 속력, 속력을 미분하면 가속도입니다.
  • 변하는 자기장(\(\partial \mathbf{B}/\partial t\))이 전기를 만들고, 흔들리는(가속하는) 전류가 전파를 냅니다. 주파수가 높을수록 변화가 \(2\pi f\)배 빠릅니다.
  • 적분은 잘게 나누어 쌓아 더하기이고, 그래프에서는 아래 넓이입니다. 속력의 넓이는 거리, 전력의 넓이는 에너지입니다.
  • 미분과 적분은 서로 반대입니다(미적분의 기본정리).
  • 전파망원경은 신호를 오래 쌓아(적분 시간) 잡음을 줄이고, 스펙트럼선의 넓이로 세기의 총량을 잽니다.
  • 응용: 회로(\(I = C\,dV/dt\)), 전력량계(\(\int P\,dt\)), 간섭계의 프린지 주파수와 영상 합성, 인공지능의 경사하강법, CT 촬영 등 변화가 있는 곳 어디에나 쓰입니다.

🧑‍🏫 선생님·학부모님을 위한 설명 도움말

자주 하는 오해

  • "\(\dfrac{dy}{dx}\)는 \(d \times y \div (d \times x)\)이니 \(d\)를 약분하면 \(\dfrac{y}{x}\)이다" — \(dy\)는 한 덩어리로 "\(y\)의 아주 작은 변화"입니다. \(y = x^2\)에서 \(y/x = x\)이지만 기울기는 \(2x\)입니다.
  • "기울기가 0이면 값도 0이다" — 기울기 0은 "그 순간 변하지 않는다"는 뜻입니다. \(\sin x\)는 꼭대기(값 1)에서 기울기가 0입니다. 공을 위로 던지면 가장 높은 곳에서 속력이 0이지만 높이는 가장 큽니다.
  • "평균 속력과 순간 속력은 같다" — 서울–부산 평균 100 km/h여도 휴게소에서는 0, 고속도로에서는 110입니다. 두 점 사이 할선과 한 점의 접선의 차이입니다.
  • "넓이는 늘 양수다" — 속력이 음수(뒤로 가기)면 그 부분 넓이는 빼서 계산합니다. 그래서 적분은 '간 거리'가 아니라 '위치의 변화'를 줍니다. 이 페이지의 예는 모두 앞으로만 가는 경우입니다.
  • "\((\sin x)' = \cos x\)는 도(°) 단위에서도 그대로다" — 도로 재면 \(\dfrac{\pi}{180}\)이 더 붙습니다. 미적분에서 라디안을 쓰는 까닭입니다.
  • "전자가 움직이기만 하면 전파가 나온다" — 일정한 속도로 움직이는 전하는 전파를 내지 않습니다. 속도가 바뀌어야(가속도 ≠ 0) 합니다.

비유로 설명하기

  • 미분은 "자동차 계기판", 적분은 "주행 거리계"입니다. 계기판 숫자를 시간마다 쌓으면 거리계 숫자가 되고, 거리계가 늘어나는 빠르기가 계기판 숫자입니다.
  • 물통에 물을 받을 때 "수도꼭지를 얼마나 세게 틀었나"가 미분, "물이 얼마나 찼나"가 적분입니다.
  • 적분은 "모눈종이 칸 세기"입니다. 칸이 작을수록 곡선 모양의 넓이를 더 정확히 셀 수 있습니다.

함께 해 볼 질문·활동

  • 차를 탈 때 10초마다 계기판 속력을 기록하고, "속력 × 10초"를 더해 간 거리를 어림한 뒤 내비게이션 거리와 비교하기.
  • 모눈종이에 \(y = x^2\)을 그리고, 자를 곡선에 대어 접선을 그려 기울기를 재 보기. \(x = 1, 2, 3\)에서 2, 4, 6에 가까운지 확인하기.
  • 위 넓이 쌓기에서 n을 늘리기 전에 "왼쪽 끝 합과 오른쪽 끝 합이 어디로 모일까?" 예상해 보기. \(v = 2t\)와 \(v = 0.6t^2\)의 넓이가 둘 다 25 m인 것도 찾아보기.
  • 휴대폰 충전 앱의 충전 속도(W)를 몇 분마다 적어 전력-시간 그래프를 그리고, 넓이로 충전된 에너지(Wh)를 어림하기.

📚 참고 자료 및 출처

본 교육자료는 Anthropic(Claude) 및 OpenAI(ChatGPT)를 활용하여 제작하였으며, 제작자가 내용을 검토·편집하였습니다. 주요 참고자료와 출처는 각 페이지의 「참고 자료 및 출처」에 명시하였습니다. 출처가 별도로 표기되지 않은 페이지와 참고자료에 포함되지 않은 내용은 제작자가 직접 작성하거나 정리한 것입니다. 내용에 오류가 있거나 수정이 필요한 사항을 발견하시면 kvnsite@kasi.re.kr로 알려 주시기 바랍니다.

이전 페이지

기초수학

확률과 통계
현재 페이지

기초수학

미분과 적분
다음 페이지

기초수학

수식 기호 읽기