전파교실의 전기 이야기에는 아래 같은 짧은 식이 자주 나옵니다.
앞의 두 식은 전자기파 편의 '전기 단위 한눈에 정리'에, 마지막 식은 CCTV 편에서 랜선이 열로 잃는 전력을 계산할 때 나옵니다.
이 편의 구성 — ①~⑥은 직류 회로의 기본(전압·전류·저항·전력·요금·안전)이고, ⑦은 축전기·코일·교류까지 포함한 회로 공식 모음표, ⑧은 그 공식이 왜 그렇게 되는지(사인파·미분으로 유도)입니다. 축전기·코일의 원리와 쓰임은 축전기·코일과 교류의 만남 편에서 먼저 읽으면 ⑦·⑧이 쉬워집니다.
글자는 세 개뿐입니다. V는 전압, I는 전류, R은 저항입니다. 곱하기와 나누기만 할 줄 알면 모두 읽을 수 있습니다.
전기는 눈에 보이지 않으니, 물이 흐르는 관으로 바꾸어 생각하면 쉽습니다. 저항이 왜 생기는지, 전자기기에서 왜 필요한지는 전류 흐름 제어(저항) 편에서 설명합니다.
| 전기 | 기호 | 단위 | 물에 비유하면 |
|---|---|---|---|
| 전압 | \(V\) | 볼트(V) | 물을 미는 높이 차(수압) |
| 전류 | \(I\) | 암페어(A) | 1초 동안 지나가는 물의 양 |
| 저항 | \(R\) | 옴(Ω) | 관이 좁고 길어서 흐름을 막는 정도 |
전압을 더 정확히 말하면 전하 1 C(쿨롱)가 옮겨 갈 때 주고받는 에너지입니다(1 V = 1 J/C). 이 이야기는 에너지란 무엇일까?와 전기발생 원리 편에 자세히 있습니다.
전류의 기호가 C가 아니라 \(I\)인 것은 '전류의 세기'(프랑스어 intensité)에서 왔기 때문입니다. 작은 전류는 mA(밀리암페어, 1000분의 1 A), 큰 저항은 kΩ(킬로옴, 1000 Ω)으로 씁니다(큰 수·작은 수와 단위 편).
물통을 더 높이 올리면(전압 ↑) 물이 더 많이 흐릅니다(전류 ↑). 관이 좁아지면(저항 ↑) 물이 덜 흐릅니다(전류 ↓). 이 관계를 식으로 쓴 것이 옴의 법칙입니다.
세 식은 같은 식을 모양만 바꾼 것입니다. 외우기 어렵다면 아래 삼각형에서 구하고 싶은 글자를 손가락으로 가려 보세요. 남은 두 글자가 옆에 나란히 있으면 곱하고, 위아래에 있으면 나눕니다.
버튼을 눌러 글자 하나를 가려 보세요.
🧮 계산 예시 — 손전등 전구에 흐르는 전류
상황: 1.5 V 건전지 2개를 이어 3 V를 만들고, 저항이 10 Ω인 꼬마전구를 켭니다. 전류는 얼마일까요?
📐 수학 도움말: 전압이 같을 때 저항이 2배면 전류는 \(\tfrac{1}{2}\)배입니다. 이런 관계를 반비례라고 합니다(분수·비율·비례 편).
👉 정리: 전압은 전류를 늘리고, 저항은 전류를 줄입니다. 셋 중 둘을 알면 나머지 하나는 삼각형으로 바로 구할 수 있습니다.
전력(\(P\), 단위 와트 W)은 전기가 1초 동안 하는 일의 양입니다(1 W = 1 J/s). "높이 차(전압) × 흐르는 양(전류)"이 클수록 물레방아가 힘차게 돌듯, 전력은 전압과 전류의 곱입니다.
예를 들어 휴대폰 충전기가 5 V로 2 A를 보내면 \(5 \times 2 = 10\ \text{W}\)입니다(에너지란 무엇일까? 편의 예).
여기에 옴의 법칙을 끼워 넣으면 식이 두 개 더 생깁니다. 새로운 법칙이 아니라 바꿔 쓴 것뿐입니다.
전선이 뜨거워지는 이유도 \(I^2 R\)입니다. 전선의 저항은 아주 작지만 0은 아니어서, 전류가 지나가면 \(I^2 R\)만큼 열이 납니다. 전류가 2배면 열은 \(2^2 = 4\)배입니다(거듭제곱과 제곱근 편). 같은 전력을 낮은 전압으로 보내면 전류가 커져 손실이 확 늘어납니다. 랜선 전원(PoE)을 44 V 대신 12 V로 보내면 선 손실이 약 13배가 된다는 계산이 CCTV 편에 있습니다.
🧮 계산 예시 — 220 V, 1,100 W 전기 주전자
상황: 전기 주전자 바닥에 "220 V, 1,100 W"라고 적혀 있습니다. 전류와 저항은 얼마일까요?
📐 수학 도움말: \(V^2\)은 \(V \times V\)입니다. 세 식 \(VI\), \(I^2R\), \(V^2/R\)은 언제나 같은 답을 내므로, 하나로 구하고 다른 하나로 검산할 수 있습니다.
👉 정리: 기기에 적힌 전압과 전력만 알면 전류와 저항을 모두 구할 수 있습니다.
💡 콘센트의 220 V는 사실 약 +311 V와 −311 V 사이를 오르내리는 교류이고, 220 V는 같은 열을 내는 직류로 바꾼 '실효값'입니다. 그래서 이 페이지의 계산에는 220 V를 그대로 쓰면 됩니다(직류와 교류의 차이 편).
사인파의 최댓값을 \(A\)라 하면 저항이 내는 평균 전력은 \(P = \dfrac{A^2}{2R}\)입니다(AM 진폭변조 편에서 쓰는 식). \(A = 220 \times \sqrt{2} \approx 311\ \text{V}\)를 넣으면
실효값 220 V로 \(V^2/R\)을 계산한 것과 똑같습니다. 실효값은 이렇게 "직류 식을 그대로 쓰게 해 주는 값"입니다.
전구나 저항을 잇는 방법은 두 가지입니다. 한 줄로 줄줄이 잇는 직렬, 여러 갈래로 나란히 잇는 병렬입니다.
| 직렬(한 줄로) | 병렬(나란히) | |
|---|---|---|
| 전체 저항 | 10 + 10 = 20 Ω | 10 ÷ 2 = 5 Ω |
| 같은 것 | 모든 저항에 같은 전류 | 모든 저항에 같은 전압 |
| 건전지 2개 | 전압이 더해져 3 V | 전압은 1.5 V 그대로, 대신 더 오래감 |
| 하나가 끊기면 | 모두 꺼짐 | 나머지는 그대로 켜짐 |
리모컨에 건전지를 줄줄이 넣는 것은 직렬로 전압을 높이는 것입니다(전기발생 원리 편의 1.5 V + 1.5 V = 3 V). 집의 콘센트와 멀티탭은 병렬입니다. 그래서 어느 구멍에 꽂아도 220 V가 그대로 걸리고, 꽂은 기기들의 전류는 더해집니다.
병렬에서는 전류가 더해지므로 역수(1을 그 수로 나눈 값)를 더합니다.
두 개일 때는 \(R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\)로 써도 됩니다. 10 Ω과 40 Ω이면 \(\dfrac{400}{50} = 8\ \Omega\)으로, 늘 작은 쪽(10 Ω)보다도 작습니다.
🧮 계산 예시 — 멀티탭 하나에 몇 W까지?
상황: 멀티탭에 "16 A"라고 적혀 있습니다. 겨울에 전기난로 2,000 W, 헤어드라이어 1,500 W, 전기 주전자 1,100 W를 한꺼번에 꽂았습니다.
📐 수학 도움말: 전류가 16 A에서 약 21 A로 1.3배쯤 늘면 멀티탭 전선의 열(\(I^2 R\))은 \(1.3^2 \approx 1.7\)배로 늘어납니다.
👉 정리: 멀티탭에 적힌 A에 220을 곱하면 쓸 수 있는 W가 나옵니다. 열을 내는 기기(난로, 드라이어, 주전자)는 한 멀티탭에 몰아 꽂지 마세요.
👉 전압과 저항을 바꾸고, 전구를 직렬·병렬로 이어 밝기를 비교해 보세요!
전력(W)은 "1초에 얼마나 빨리 쓰나"입니다. 실제로 쓴 양은 여기에 쓴 시간을 곱해야 나옵니다.
W에 시간(h, hour)을 곱하면 단위는 Wh(와트시), 1,000 Wh는 kWh(킬로와트시)입니다. 전기 요금 고지서가 쓰는 단위가 kWh입니다. 1 kWh를 줄로 바꾸면 3,600,000 J입니다(에너지란 무엇일까? 편).
전력이 큰 기기를 오래 쓸수록 요금이 많이 나옵니다. 충전기는 전력이 작아서 매일 써도 요금이 아주 적습니다.
🧮 계산 예시 — 여름 한 달 에어컨 전기 요금
상황: 평균 1,500 W를 쓰는 에어컨을 하루 8시간씩 30일 켰습니다. 1 kWh당 약 120원이라고 가정해 봅시다.
📐 수학 도움말: 곱하는 순서는 바꿔도 됩니다. \(1.5 \times 8 \times 30 \times 120\)을 한꺼번에 계산해도 43,200이 나옵니다.
👉 정리: 요금 ≈ 전력(kW) × 하루 시간(h) × 날수 × 1 kWh당 단가. 실제 요금은 기본요금, 사용량에 따라 단가가 올라가는 누진 구간, 세금 등이 더해져 달라집니다.
👉 집에 있는 기기의 전기 요금을 어림해 보세요!
기기 바닥이나 뒷면 라벨의 '소비전력'을 넣어 보세요. 단가 120원은 계산을 위한 가정이며, 실제 요금표는 한국전력 전기요금표에서 확인할 수 있습니다.
우리 몸도 전기가 흐르는 저항입니다. 그래서 몸에 흐르는 전류도 옴의 법칙 \(I = V \div R\)을 따릅니다. 몸을 다치게 하는 것은 전압 자체보다 몸을 지나는 전류입니다(전자기파 편).
피부가 젖으면 저항이 크게 낮아집니다. 저항이 작아지면 같은 220 V에서도 전류가 커집니다. 아래 값은 사람·닿는 넓이·경로에 따라 크게 달라지는 대략적인 값입니다.
| 몸 상태 | 몸의 저항(대략) | 전류 | 느낌·위험(대략) |
|---|---|---|---|
| 마른 피부 | 약 200 kΩ (20만 Ω) | \(220 \div 200{,}000 \approx 1.1\ \text{mA}\) | 찌릿하게 느끼는 정도 |
| 흠뻑 젖은 피부 | 약 10 kΩ (1만 Ω) | \(220 \div 10{,}000 = 22\ \text{mA}\) | 근육이 굳어 손을 떼기 어려울 수 있음(약 10 mA 이상) |
저항이 20분의 1이 되니 전류는 20배가 됩니다. 수십 ~ 100 mA 안팎의 전류가 심장을 지나면 생명이 위험할 수 있습니다. 반면 1.5 V 건전지는 젖은 손이라도 \(1.5 \div 10{,}000 = 0.15\ \text{mA}\) 정도라 거의 느끼지 못합니다.
①~⑥에서 배운 \(V = IR\), \(P = VI\)에 축전기(C)와 코일(L), 그리고 교류에서 쓰는 공식을 더하면 전파교실의 회로 이야기는 거의 다 읽을 수 있습니다. 아래 표는 공식을 하나의 표에 모으고, 무슨 뜻인지·언제 쓰는지·주의할 점을 한 줄씩 덧붙였습니다. 공식이 왜 그렇게 되는지는 바로 아래 ⑧에서 풀어 보고, 축전기·코일의 원리·쓰임·시뮬레이션은 축전기·코일과 교류의 만남 편에서 볼 수 있습니다.
| 기호 | 뜻 | 단위 | 자주 쓰는 크기 |
|---|---|---|---|
| \(V\) | 전압 | 볼트(V) | 건전지 1.5 V, 콘센트 220 V |
| \(I\) | 전류 | 암페어(A) | mA(1000분의 1 A) |
| \(R\) | 저항 | 옴(Ω) | Ω, kΩ |
| \(P\) | 전력 | 와트(W) | mW, W, kW |
| \(Q\) | 전하(전기의 양) | 쿨롱(C) | nC, μC |
| \(C\) | 전기용량(축전기) | 패럿(F) | pF, nF, μF |
| \(L\) | 인덕턴스(코일) | 헨리(H) | nH, μH, mH |
| \(f\) | 주파수 | 헤르츠(Hz) | kHz, MHz, GHz |
| \(X,\ Z\) | 리액턴스, 임피던스 | 옴(Ω) | Ω ~ kΩ |
접두어(μ, n, p, k, M)는 큰 수·작은 수와 단위 편에서 익힙니다. 1 F은 매우 큰 값이라 실제 부품은 대부분 μF 이하이고, 라디오 회로에서는 pF(\(10^{-12}\) F) 수준이 흔합니다.
| 대상 | 공식 | 읽는 법 | 부연 설명 |
|---|---|---|---|
| ① 저항(직류) — 이 편 ①~⑥ | |||
| 옴의 법칙 | \(V = IR\) | 전압 = 전류 × 저항 | 같은 전압에서 저항이 클수록 전류가 작아집니다. 세 값 중 둘을 알면 나머지를 구합니다. |
| 전력 | \(P = VI = I^2R = \dfrac{V^2}{R}\) | 1초 동안 쓰는 에너지 | 전선처럼 전류가 같을 때는 \(I^2R\), 콘센트처럼 전압이 같을 때는 \(V^2/R\)이 편합니다. |
| 저항 합치기 | 직렬 \(R = R_1 + R_2\) 병렬 \(\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\) | 직렬은 더하고, 병렬은 역수끼리 더함 | 병렬은 전류가 지나갈 길이 늘어나므로 합친 저항이 가장 작은 저항보다도 작아집니다. |
| ② 축전기 C — 전기를 모으는 부품 | |||
| 전하 | \(Q = CV\) | 저장한 전하 = 전기용량 × 전압 | 같은 전압에서 C가 클수록 더 많이 모읍니다. 1 F은 1 V에 1 C를 모으는 크기입니다. |
| 저장 에너지 | \(E_C = \tfrac{1}{2}CV^2\) | 전기장에 저장된 에너지(J) | \(\tfrac12\)이 붙는 까닭은 충전하는 동안 전압이 0에서 \(V\)까지 서서히 올라 평균 전압이 \(V/2\)이기 때문입니다. 전압이 2배면 에너지는 4배입니다. |
| 전류 | \(I = C\,\dfrac{dV}{dt}\) | 전압이 빨리 변할수록 전류가 많이 흐름 | \(\dfrac{dV}{dt}\)는 '1초에 전압이 얼마나 변하는가'(변화율)입니다. 직류(변하지 않음)에서는 \(I = 0\)이라 길이 막힙니다(미분과 적분). |
| 합치기 | 병렬 \(C = C_1 + C_2\) 직렬 \(\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}\) | 저항과 반대로, 병렬이 더하기 | 병렬은 판 넓이가 늘어나는 셈이라 C가 커지고, 직렬은 판 사이 간격이 늘어나는 셈이라 C가 작아집니다. |
| ③ 코일 L — 전류에 관성이 있는 부품 | |||
| 전압 | \(V = L\,\dfrac{dI}{dt}\) | 전류가 빨리 변할수록 큰 전압이 생김 | 코일은 전류가 변할 때만 전압을 만들고, 변하지 않는 직류에서는 그냥 전선입니다. 1 H은 전류가 1초에 1 A씩 변할 때 1 V가 생기는 크기입니다. |
| 저장 에너지 | \(E_L = \tfrac{1}{2}LI^2\) | 자기장에 저장된 에너지(J) | 축전기의 \(\tfrac12CV^2\)와 같은 꼴입니다. 전류가 2배면 에너지는 4배입니다. |
| 합치기 | 직렬 \(L = L_1 + L_2\) 병렬 \(\dfrac{1}{L} = \dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\) | 저항과 같은 모양 | 두 코일의 자기장이 서로 겹치지 않을 때의 식입니다. 가까이 놓으면 서로 영향을 줍니다. |
| ④ 교류와 리액턴스 | |||
| 각주파수 | \(\omega = 2\pi f\) | 1초에 도는 각도(rad/s) | 한 바퀴가 \(2\pi\) 라디안이라 \(f\)번 돌면 \(2\pi f\)입니다(삼각함수와 파동). |
| 코일의 리액턴스 | \(X_L = \omega L = 2\pi f L\) | 주파수에 비례 | 주파수가 높을수록 전류가 빨리 변해 코일이 더 세게 막습니다. 직류(\(f = 0\))에서는 0입니다. |
| 축전기의 리액턴스 | \(X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2\pi f C}\) | 주파수에 반비례 | 주파수가 높을수록 전하가 빨리 드나들어 잘 통과합니다. 직류에서는 무한대(막힘)입니다. |
| 임피던스 | \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\) | 교류가 느끼는 전체 방해 | 저항과 리액턴스는 위상이 90° 어긋나 그냥 더할 수 없어 직각삼각형의 빗변으로 합칩니다. \(V = IZ\)로 쓰면 옴의 법칙이 교류에서도 성립합니다. |
| ⑤ 공진과 시간 | |||
| 공진 주파수 | \(f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) | \(X_L = X_C\)가 되는 주파수 | L이나 C를 줄이면 \(f_0\)가 높아집니다. L을 4배로 하면 \(f_0\)는 절반이 됩니다(제곱근). |
| 시간 상수 | RC \(\tau = RC\) RL \(\tau = L/R\) | 충전·방전이 약 63 % 진행되는 시간 | \(\tau\)의 3배면 약 95 %, 5배면 약 99 %입니다. 단위를 \(\Omega \times \text{F} = \text{s}\)로 맞추어 계산합니다. |
| 파동 | \(c = f\lambda\) | 빛의 속력 = 주파수 × 파장 | \(c \approx 3\times10^8\) m/s. 예: 94.5 MHz FM은 \(\lambda = 3\times10^8 \div 9.45\times10^7 \approx 3.2\) m입니다. |
🧮 계산 예시 — 표의 공식 세 개로 AM 라디오 수신 회로 읽기
상황: \(L = 100\ \mu\text{H}\) 코일과 \(C = 253\ \text{pF}\) 축전기를 이은 회로에 1 MHz 신호가 들어옵니다.
여기까지의 공식이 왜 그렇게 되는지(사인파를 미분해 \(X_L\), \(X_C\)를 얻는 과정, 위상 90°, 임피던스, 공진, Q)는 바로 아래 ⑧에서 이어서 설명합니다.
축전기·코일과 교류의 만남 편에서는 "코일은 빠른 교류를 막고 축전기는 잘 통과시킨다"는 성질과 쓰임을 설명했습니다. 이 절에서는 그 성질이 위 ⑦의 공식으로 어떻게 나오는지 수학으로 확인합니다. 필요한 도구는 두 가지입니다.
처음에는 건너뛰고 ⑦의 표만 사용해도 괜찮습니다. 궁금해질 때 돌아와 읽어 보세요.
전류가 사인파 \(I = I_0 \sin\omega t\)로 흐른다고 하겠습니다. 코일 양끝의 전압은 \(V = L\,\dfrac{dI}{dt}\)이고, 사인의 변화율은 코사인이므로
전압의 최댓값은 \(V_0 = \omega L\,I_0\)입니다. \(V_0 = X\,I_0\) 꼴로 보면 비례 상수가 곧 리액턴스입니다.
\(f\)가 클수록 전류가 더 빨리 변하므로 코일은 더 세게 막습니다. 직류(\(f = 0\))에서는 \(X_L = 0\)이라 그냥 전선입니다. 또한 코사인은 사인보다 \(\tfrac14\) 주기(90°) 앞서므로 코일에서는 전압이 전류보다 90° 앞섭니다(전류가 90° 늦음).
이번에는 전압을 \(V = V_0 \sin\omega t\)로 두면, \(Q = CV\)이고 전류는 전하의 변화율이므로
\(V_0 = X\,I_0\)로 정리하면 \(X = \dfrac{V_0}{I_0} = \dfrac{1}{\omega C}\)입니다.
\(f\)가 클수록 전하가 빨리 드나들어 전류가 잘 흐르므로 방해가 작아집니다. 직류(\(f \to 0\))에서는 \(X_C \to \infty\)로 길이 막힙니다. 이번에는 전류가 전압보다 90° 앞서므로 축전기에서는 전류가 전압보다 90° 앞섭니다.
코일(L)에서는 전압(E) 다음에 전류(I)가 오고(E-L-I: 전압이 앞섬), 축전기(C)에서는 전류(I) 다음에 전압(E)이 옵니다(I-C-E: 전류가 앞섬). "전압이 앞서면 코일, 전류가 앞서면 축전기"입니다.
저항은 전압과 전류가 같은 박자이고, 리액턴스는 90° 어긋나므로 그냥 더할 수 없습니다. 직각삼각형으로 합칩니다. 가로에 \(R\), 세로에 \(X = X_L - X_C\)를 놓으면 빗변이 임피던스(impedance) \(Z\)입니다.
복소수를 배웠다면 한 줄로 쓸 수 있습니다. 허수 단위 \(j\)(수학의 \(i\))를 써서 \(Z_R = R,\ Z_L = j\omega L,\ Z_C = \dfrac{1}{j\omega C} = -\dfrac{j}{\omega C}\), 직렬이면 \(Z = R + j\bigl(\omega L - \tfrac{1}{\omega C}\bigr)\)이고, 크기가 \(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}\)입니다. 이 책에서는 복소수 없이도 읽도록 직각삼각형으로만 설명합니다.
주파수를 올리면 \(X_L\)은 커지고 \(X_C\)는 작아집니다. 둘이 만나는 주파수에서 \(X_L - X_C = 0\)이 되어 \(Z = R\)로 가장 작아지고, 전류는 가장 크게 흐릅니다. 이것이 직렬 공진입니다.
안테나의 전파 송신 편의 LC 발진기 공식이 바로 이 식입니다. 이어서 공진의 '날카로움'을 나타내는 값이 Q(품질 지수)입니다.
저항 \(R\)이 작을수록 Q가 크고, 공진 곡선이 뾰족해서 원하는 주파수만 골라냅니다(라디오 다이얼의 선택도). 반대로 병렬 LC 회로는 공진에서 임피던스가 매우 커져 그 주파수의 신호만 막는 '트랩'이 됩니다.
🧮 계산 예시 — Q와 대역폭을 숫자로 보기
상황: ⑦의 예와 같은 \(L = 100\ \mu\text{H}\), \(C = 253\ \text{pF}\) 회로에 저항 \(R = 10\ \Omega\)이 들어 있습니다.
직접 값을 바꿔 보고 싶다면 축전기·코일과 교류의 만남 편의 '직렬 RLC 계산기'와 시뮬레이션을 사용해 보세요.
🧑🏫 선생님·학부모님을 위한 설명 도움말
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📚 참고 자료 및 출처
본 교육자료는 Anthropic(Claude) 및 OpenAI(ChatGPT)를 활용하여 제작하였으며, 제작자가 내용을 검토·편집하였습니다. 주요 참고자료와 출처는 각 페이지의 「참고 자료 및 출처」에 명시하였습니다. 출처가 별도로 표기되지 않은 페이지와 참고자료에 포함되지 않은 내용은 제작자가 직접 작성하거나 정리한 것입니다. 내용에 오류가 있거나 수정이 필요한 사항을 발견하시면 kvnsite@kasi.re.kr로 알려 주시기 바랍니다.