큰 수·작은 수와 단위
전파교실 페이지를 읽다 보면 이런 식을 자주 만납니다.
\[c \approx 3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}, \qquad 22\ \mathrm{GHz} = 2.2 \times 10^{10}\ \mathrm{Hz}\]
앞의 것은 빛의 속도(주파수 편), 뒤의 것은 KVN 전파망원경이 받는 전파의 주파수입니다.
전파에는 0이 아주 많이 붙은 수가 자주 나옵니다.
0을 열 개씩 쓰면 읽기 어렵고 틀리기 쉽습니다. 그래서 10의 거듭제곱 과 단위 앞의 글자(접두어) 로 짧게 씁니다.
이 두 가지 약속만 알면 위 식을 읽을 수 있습니다.
① 10의 거듭제곱 — 0의 개수를 세는 약속
\(10^3\)은 "10을 3번 곱한 수"입니다. "10의 3제곱"이라고 읽습니다.
10을 3번 곱하면 1 뒤에 0이 3개 붙습니다. 그래서 오른쪽 위 작은 숫자(지수)는 0의 개수 입니다.
\[10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1{,}000 \qquad 10^8 = 100{,}000{,}000\ (\text{1억})\]
1보다 작은 수는 지수에 −(마이너스) 를 붙입니다. \(10^{-3}\)은 "1을 10으로 3번 나눈 수", 즉 1000분의 1입니다.
값이 음수라는 뜻이 아니라 나누기 라는 뜻입니다.
\[10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1{,}000} = 0.001 \qquad 10^{0} = 1\]
10의 거듭제곱과 우리말 이름
거듭제곱 풀어 쓴 수 우리말 전파 속 예
\(10^{9}\) 1,000,000,000 10억 1 GHz = 1초에 10억 번 진동 \(10^{8}\) 100,000,000 1억 빛은 1초에 약 3억 m(\(3 \times 10^8\) m)를 갑니다 \(10^{6}\) 1,000,000 100만 1 MHz = 1초에 100만 번 진동 \(10^{3}\) 1,000 1천 1 km = 1,000 m \(10^{-3}\) 0.001 1000분의 1 1 mm = 0.001 m \(10^{-6}\) 0.000 001 100만분의 1 AM 전파 한 번 진동 ≈ 1.41 μs \(10^{-9}\) 0.000 000 001 10억분의 1 FM 전파 한 번 진동 ≈ 10.6 ns
② 과학적 표기 — "몇 × 10의 몇 제곱"
큰 수도 작은 수도 "(1~10 사이의 수) × 10의 거듭제곱" 모양으로 쓸 수 있습니다. 이것을 과학적 표기 라고 합니다.
\[300{,}000{,}000 = 3 \times 10^8 \qquad 22{,}000{,}000{,}000 = 2.2 \times 10^{10} \qquad 0.0136 = 1.36 \times 10^{-2}\]
소수점을 옮긴 칸 수가 지수 입니다. 300,000,000은 소수점을 왼쪽으로 8칸 옮기면 3이 되므로 \(3 \times 10^8\)입니다.
작은 수는 오른쪽으로 옮기고 지수에 −를 붙입니다. 0.0136은 오른쪽으로 2칸 옮기면 1.36이므로 \(1.36 \times 10^{-2}\)입니다.
더 알아보기 — 계산기의 3e8
계산기나 컴퓨터는 \(3 \times 10^8\)을 3e8 또는 3E8로 보여 줍니다. 여기서 e는 "×10의"라는 뜻입니다.
\(1.36 \times 10^{-2}\)는 1.36e-2입니다.
③ 단위 접두어 — 단위 앞에 붙는 한 글자
"22 GHz"의 G처럼 단위 앞에 붙는 글자를 접두어 라고 합니다.
접두어 한 글자가 10의 거듭제곱 하나를 대신합니다. G는 \(10^9\)(10억)이므로 22 GHz는 "1초에 220억 번"입니다.
자주 쓰는 SI 접두어
기호 읽기 곱하는 수 우리말 전파교실 속 예 소리 내어 읽기
P 페타 \(10^{15}\) 1,000조 1 PB = 1,000 TB 1 페타바이트는 1,000 테라바이트 (1,000조 바이트) T 테라 \(10^{12}\) 1조 관측 자료 57.6 TB 57.6 테라바이트 (57조 6천억 바이트) G 기가 \(10^{9}\) 10억 KVN 22 GHz, Wi-Fi 2.4 GHz 22 기가헤르츠 (220억 헤르츠), 2.4 기가헤르츠 (24억 헤르츠) M 메가 \(10^{6}\) 100만 FM 94.5 MHz 94.5 메가헤르츠 (9천4백5십만 헤르츠) k 킬로 \(10^{3}\) 1,000(천) AM 711 kHz, 1 km 711 킬로헤르츠 (71만 1천 헤르츠), 1 킬로미터 (1천 미터) (없음) — \(10^{0} = 1\) 1 Hz, m, s, W, byte 그대로 헤르츠, 미터, 초, 와트, 바이트 c 센티 \(10^{-2}\) 100분의 1 22 GHz 파장 1.36 cm 1.36 센티미터 (100분의 1.36 미터) m 밀리 \(10^{-3}\) 1,000분의 1 43 GHz 파장 7 mm 7 밀리미터 (1,000분의 7 미터) μ 마이크로 \(10^{-6}\) 100만분의 1 AM 전파 주기 1.41 μs 1.41 마이크로초 (100만분의 1.41 초) n 나노 \(10^{-9}\) 10억분의 1 FM 전파 주기 10.6 ns 10.6 나노초 (10억분의 10.6 초) p 피코 \(10^{-12}\) 1조분의 1 라디오 축전기 106 pF 106 피코패럿 (1조분의 106 패럿)
대문자와 소문자는 뜻이 다릅니다. m(밀리)은 1000분의 1, M(메가)은 100만 배입니다.
μ는 그리스 문자 '뮤'입니다(수식 기호 읽기 편 참고).
④ 단위 바꾸기 — 1000배 계단 오르내리기
접두어는 한 칸마다 1000배씩 차이 나는 계단입니다(c 센티만 예외).
1 km = 1,000 m처럼, 단위가 한 칸 작아지면 숫자는 1000배 커집니다.
p n μ m
기본
k M G T P
10⁻¹² 10⁻⁹ 10⁻⁶
10⁻³ 1 10³
10⁶ 10⁹ 10¹²
10¹⁵
← 작은 단위로: 숫자 × 1000
큰 단위로: 숫자 ÷ 1000 →
파란 쪽(왼쪽)은 1보다 작은 단위, 보라 쪽(오른쪽)은 1보다 큰 단위입니다. 이웃한 두 칸은 항상 1000배 차이 납니다.
가장 확실한 방법은 접두어를 10의 거듭제곱으로 바꿔 쓰기 입니다.
G를 \(\times 10^9\)으로 바꾸면 \(22\ \text{GHz} = 22 \times 10^9\ \text{Hz}\)입니다.
이 값을 과학적 표기로 정리하면 \(2.2 \times 10^{10}\ \text{Hz}\)입니다. 22를 10으로 나눈 대신 지수를 1 올렸으니 값은 같습니다.
👉 숫자와 단위를 골라 직접 바꾸어 보세요!
숫자
지금 접두어
바꿀 접두어
단위
Hz
m
s
W
B (바이트)
bps
예시:
KVN 22 GHz
FM 94.5 MHz
파장 1.36 cm
주기 10.6 ns
자료 57.6 TB
숫자는 유효숫자 12자리까지만 보여 줍니다. 아주 큰 값과 아주 작은 값을 같은 표에 놓고 비교해 보세요.
🧮 계산 예시 — 빛은 1 ns 동안 몇 cm를 갈까?
상황: 빛(전파)의 속도는 약 \(3 \times 10^8\ \text{m/s}\)입니다. 1 ns(나노초) 동안에는 얼마나 갈까요? GPS나 VLBI처럼 시각을 아주 정확히 맞춰야 하는 장치에서 늘 쓰는 계산입니다.
접두어를 거듭제곱으로 바꿉니다. \(1\ \text{ns} = 1 \times 10^{-9}\ \text{s}\) → 1초를 10억 조각 낸 것 중 하나라는 뜻입니다.
거리 = 속도 × 시간: \(3 \times 10^8\ \text{m/s} \times 10^{-9}\ \text{s} = 3 \times 10^{8-9}\ \text{m} = 3 \times 10^{-1}\ \text{m}\)
→ 지수끼리는 더합니다(8 + (−9) = −1).
알기 쉬운 단위로 바꿉니다. \(3 \times 10^{-1}\ \text{m} = 0.3\ \text{m} = 30\ \text{cm}\) → 자 하나 길이입니다.
📐 수학 도움말: 단위 계산도 숫자처럼 합니다. m/s(미터 나누기 초)에 s(초)를 곱하면 s끼리 지워져 m만 남습니다. 단위가 맞게 남는지 확인하면 실수를 잡을 수 있습니다.
👉 정리: 빛은 1 ns에 약 30 cm를 갑니다. 그래서 시계가 10 ns만 어긋나도 거리 계산이 약 3 m 틀어집니다(GPS ).
🧮 계산 예시 — 16 Gbps로 8시간 관측하면 몇 TB?
상황: KVN 망원경 한 대가 1초에 16 Gb(기가비트)씩 자료를 기록하며 8시간 관측합니다(대용량 데이터 전송 및 수신 편의 예).
접두어를 바꿉니다. \(16\ \text{Gbps} = 16 \times 10^9\ \text{bit/s}\) → 1초에 160억 비트입니다.
시간을 초로 바꿉니다. \(8\ \text{시간} = 8 \times 3600\ \text{s} = 28{,}800\ \text{s} \approx 2.88 \times 10^4\ \text{s}\)
곱합니다. 앞의 수끼리(16 × 2.88 = 46.08), 지수끼리(9 + 4 = 13) 계산하면 \(46.08 \times 10^{13} = 4.608 \times 10^{14}\ \text{bit}\)입니다.
바이트로 바꿉니다(1바이트 = 8비트). \(4.608 \times 10^{14} \div 8 = 5.76 \times 10^{13}\ \text{byte}\)
T(테라)는 \(10^{12}\)이므로 \(5.76 \times 10^{13} = 57.6 \times 10^{12}\ \text{byte} = 57.6\ \text{TB}\) → 1 TB 외장 하드 58개쯤입니다.
📐 수학 도움말: 마지막 단계처럼 앞의 수를 10배 키우고 지수를 1 줄여도 값은 같습니다(\(5.76 \times 10^{13} = 57.6 \times 10^{12}\)). 지수끼리 더하는 규칙은 거듭제곱과 제곱근 편에서 다룹니다.
👉 정리: ① 접두어를 10의 거듭제곱으로 바꾸고 ② 계산한 뒤 ③ 알맞은 접두어로 되돌립니다.
⑤ 어림(≈) — 대충 맞으면 충분할 때
빛의 속도는 정확히 \(299{,}792{,}458\ \text{m/s}\)입니다. 그런데 전파교실에서는 보통 \(3 \times 10^8\ \text{m/s}\)로 씁니다.
차이가 1만분의 7쯤이라 파장을 어림하기에는 충분하기 때문입니다.
이렇게 "거의 같다" 를 나타내는 기호가 ≈ 입니다. \(c \approx 3 \times 10^8\ \text{m/s}\)는 "c는 약 3억 m/s"라고 읽습니다.
계산하기 전에 지수만 보고 답의 크기를 먼저 짐작 해 보세요. \(\dfrac{3 \times 10^8}{2.2 \times 10^{10}}\)은 지수만 보면 \(10^{-2}\)쯤, 즉 0.01 m(1 cm) 근처입니다.
실제 답 1.36 cm와 맞습니다. 짐작과 크게 다르면 계산을 다시 확인하면 됩니다.
더 알아보기 — 유효숫자
측정값에서 믿을 수 있는 자리의 숫자를 유효숫자 라고 합니다. "22 GHz"는 2자리, 물 분자 전파의 정확한 값 "22.235 GHz"는 5자리입니다.
계산 결과는 가장 덜 정확한 값에 맞춰 반올림합니다. \(3 \times 10^8\)을 \(9.45 \times 10^7\)로 나눈 답을 3.174603… m까지 적을 필요는 없고, "약 3.2 m"면 충분합니다.
✏️ 스스로 풀어 보기
KVN의 두 번째 관측 주파수 43 GHz를 Hz 단위의 과학적 표기로 써 보세요.
정답 보기
\(43\ \text{GHz} = 43 \times 10^9\ \text{Hz} = 4.3 \times 10^{10}\ \text{Hz}\). 43을 4.3으로 줄이면서(÷10) 지수를 1 올렸습니다(×10).
250 μs(마이크로초)는 몇 초(s)이고, 몇 ms(밀리초)일까요?
정답 보기
\(250\ \mu\text{s} = 250 \times 10^{-6}\ \text{s} = 2.5 \times 10^{-4}\ \text{s} = 0.00025\ \text{s}\).
μ에서 m는 계단 한 칸 위이므로 1000으로 나누어 \(250 \div 1000 = 0.25\ \text{ms}\)입니다.
1 mW와 1 MW는 몇 배 차이일까요?
정답 보기
\(1\ \text{MW} = 10^{6}\ \text{W}\), \(1\ \text{mW} = 10^{-3}\ \text{W}\)이므로 \(\dfrac{10^{6}}{10^{-3}} = 10^{6-(-3)} = 10^{9}\), 즉 10억 배 입니다.
m과 M을 헷갈리면 이만큼 큰 실수가 됩니다.
🔗 이 수학이 쓰이는 곳
주파수 — \(94.5\ \text{MHz} = 9.45 \times 10^7\ \text{Hz}\), \(c \approx 3 \times 10^8\ \text{m/s}\)로 파장 구하기파장 — 수소 전파 \(1.4204 \times 10^9\ \text{Hz}\), 물 메이저 \(2.2235 \times 10^{10}\ \text{Hz}\)의 파장 계산진폭 — 잰스키 단위 \(1\ \text{Jy} = 10^{-26}\ \text{W/m}^2/\text{Hz}\), mJyAM 진폭변조 — 주기 \(1.41 \times 10^{-6}\ \text{s} = 1.41\ \mu\text{s}\)안테나의 전파 송신 — μ(\(10^{-6}\)), p(\(10^{-12}\))가 들어간 코일·축전기 계산웹카메라 동작원리 — \(550 \times 10^{-9}\ \text{m}\) 초록빛, \(5.45 \times 10^{14}\ \text{Hz} = 545\ \text{THz}\)대용량 데이터 전송 및 수신 — \(16 \times 10^9\ \text{bit/s} \times 8 \times 3600\ \text{s} \div 8 = 57.6\ \text{TB}\)전파는 어떻게 만들어질까? — \(\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F/m}\) 같은 아주 작은 상수축전기·코일과 교류의 만남 — 100 μH 코일, 253 pF 축전기, kΩ 리액턴스를 \(10\)의 거듭제곱으로 바꾸어 \(X_L\), \(X_C\), \(f_0\) 계산
핵심 정리
\(10^n\)은 1 뒤에 0이 n개, \(10^{-n}\)은 소수점 아래 n번째 자리에 1이 있는 수입니다. \(10^0 = 1\)입니다.
과학적 표기는 "1 이상 10 미만의 수 × 10의 거듭제곱"입니다. 예: \(300{,}000{,}000 = 3 \times 10^8\).
접두어 k·M·G·T·P는 \(10^{3}\)·\(10^{6}\)·\(10^{9}\)·\(10^{12}\)·\(10^{15}\), m·μ·n·p는 \(10^{-3}\)·\(10^{-6}\)·\(10^{-9}\)·\(10^{-12}\)입니다. 대·소문자를 꼭 구별합니다.
단위를 바꿀 때는 접두어를 10의 거듭제곱으로 풀어 쓰면 틀리지 않습니다. 단위가 작아지면 숫자는 커집니다.
≈는 "거의 같다"는 뜻입니다. 결과는 필요한 만큼의 유효숫자로만 쓰고, 계산 전에 자릿수를 어림해 보면 실수를 잡을 수 있습니다.
🧑🏫 선생님·학부모님을 위한 설명 도움말
자주 하는 오해
"\(10^8\)은 10 × 8 = 80이다" — 지수는 곱하는 횟수 입니다. \(10^8\)은 10을 8번 곱한 1억입니다. "0이 8개"라고 바꿔 말해 주면 쉽게 고쳐집니다.
"\(10^{-3}\)은 음수다" — 지수가 음수일 뿐 값은 0보다 큰 0.001입니다. 마이너스 지수는 "나누기"라고 설명해 주세요.
"단위를 큰 것으로 바꾸면 숫자도 커진다" — 반대입니다. 1,000 m가 1 km가 되듯, 단위가 커지면 숫자는 작아집니다. 같은 길이를 큰 자로 재면 몇 번 안 재도 된다고 비유할 수 있습니다.
"m와 M, k와 K는 같은 글자다" — 접두어는 대·소문자가 다른 뜻입니다. mW와 MW는 10억 배, K는 켈빈(온도)입니다.
"1억 = 1 G" — 우리말은 네 자리(만·억·조), SI는 세 자리(k·M·G)씩 묶습니다. 1억은 100 M(\(10^8\)), 10억이 1 G(\(10^9\))입니다.
비유로 설명하기
접두어는 "돈의 단위"와 같습니다. 1원짜리 1000개 = 1천 원, 1천 원 1000장 = 100만 원처럼, 1000개씩 모이면 다음 이름으로 부릅니다.
과학적 표기의 지수는 "주소의 동 번호", 앞의 수는 "번지"입니다. 동 번호(자릿수)만 알아도 대략 어디쯤인지 알 수 있습니다.
함께 해 볼 질문·활동
집 안에서 접두어가 붙은 단위를 찾아 표로 만들기(충전기 5 V 2 A, 공유기 2.4 GHz·5 GHz, 사진 파일 3 MB, 약봉지 500 mg 등).
휴대전화 계산기를 가로로 돌려 공학용 모드에서 3E8 ÷ 2.2E10을 계산해 보고, 답이 cm 단위가 되는지 확인하기.
찰스·레이 임스 부부의 짧은 영화 「Powers of Ten」(1977)처럼, 1 m에서 출발해 10배씩 커지는(또는 작아지는) 그림 카드 만들기.
위 단위 변환기에서 같은 양을 p부터 P까지 바꿔 보며 "단위가 한 칸 커질 때 숫자가 어떻게 바뀌는지" 규칙 말해 보기.
kvnsite@kasi.re.kr 로 알려 주시기 바랍니다.