거듭제곱과 제곱근

전파교실에는 작은 숫자 2가 위에 붙은 식과 \(\sqrt{\ }\) 기호가 자주 나옵니다.

앞의 것은 "전파의 세기는 진폭의 제곱에 비례한다"(진폭 편)는 뜻입니다. 뒤의 것은 "오래 관측할수록 잡음이 줄어든다"는 전파망원경의 식입니다.

제곱과 제곱근 두 가지만 알면 두 식을 모두 읽을 수 있습니다.

① 제곱 — 같은 수를 두 번 곱하기

\(3^2\)은 "3의 제곱"이라고 읽고, \(3 \times 3 = 9\)입니다. 오른쪽 위의 작은 2는 "두 번 곱하라"는 뜻입니다.

제곱은 정사각형의 넓이와 같습니다. 한 변이 2배가 되면 넓이는 4배, 3배가 되면 9배가 됩니다.

전파에서는 세기가 진폭의 제곱에 비례합니다(\(I \propto A^2\)). 물결 높이(진폭)가 2배면 에너지는 4배입니다. 전선에서 열로 잃는 전력 \(P = I^2 R\)도 전류의 제곱이라, 전류가 2배면 손실은 4배입니다(전압·전류·저항은 전기/회로 공식 편 참고).

② 10의 거듭제곱끼리 곱하기·나누기

같은 수를 여러 번 곱하는 것을 거듭제곱이라고 합니다. \(10^3\)은 10을 3번 곱한 1,000입니다(큰 수·작은 수와 단위 편).

\(10^3 \times 10^4\)는 "0이 3개인 수 × 0이 4개인 수"입니다. 곱하면 0이 3 + 4 = 7개 붙습니다. 그래서 곱할 때는 지수를 더합니다.

나눌 때는 0이 지워지므로 지수를 뺍니다. 지수가 −인 수도 같은 규칙을 따릅니다. 예를 들어 \(10^6 \times 10^{-6} = 10^{0} = 1\)입니다.

더 알아보기 — 앞에 숫자가 붙어 있을 때, 거듭제곱의 거듭제곱

앞의 수는 앞의 수끼리, 지수는 지수끼리 계산합니다. \((3 \times 10^8) \times (2 \times 10^{-9}) = (3 \times 2) \times 10^{8-9} = 6 \times 10^{-1} = 0.6\)

거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱합니다. \((10^2)^3 = 10^2 \times 10^2 \times 10^2 = 10^{6}\)

"10을 몇 번 곱해야 이 수가 될까?"를 거꾸로 묻는 것이 로그입니다(로그와 데시벨(dB) 편).

③ 제곱근 — 제곱을 거꾸로

"제곱해서 9가 되는 수는?" 답은 3입니다. 이것을 9의 제곱근이라 하고 \(\sqrt{9} = 3\)으로 씁니다. \(\sqrt{\ }\)는 "루트"라고 읽습니다.

정사각형으로 생각하면, 넓이를 알 때 한 변의 길이를 구하는 것입니다. 넓이 9칸인 정사각형의 한 변은 3칸입니다(위 그림).

10의 거듭제곱의 제곱근은 쉽습니다. 지수를 절반으로 하면 됩니다. \(10^4 \times 10^4 = 10^8\)이므로 \(\sqrt{10^8} = 10^4\)입니다.

④ 제곱근이 하는 일 — 오래 볼수록 잡음이 준다

동전을 4번 던지면 앞면이 1번 나올 수도, 3번 나올 수도 있습니다. 하지만 1,000번 던지면 앞면 비율은 거의 절반에 가까워집니다. 여러 번 모아 평균을 내면 들쭉날쭉함이 줄어듭니다.

줄어드는 정도는 횟수의 제곱근을 따릅니다. N번 모아 평균하면 잡음은 \(\dfrac{1}{\sqrt{N}}\)로 줄어듭니다. 4번이면 절반, 100번이면 10분의 1입니다(평균과 오차의 뜻은 확률과 통계 편 참고).

전파망원경도 같습니다. 관측 시간 \(\tau\)(타우)가 길고, 받는 주파수 폭 \(\Delta\nu\)(델타 뉴)가 넓을수록 모으는 자료가 많아집니다. 그래서 잡음 \(\Delta T\)는 \(\sqrt{\Delta\nu\,\tau}\)로 나눈 만큼 작아집니다. \(T_{\text{sys}}\)는 수신기 자체의 잡음 크기입니다.

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더 알아보기 — 빛의 속도도 제곱근으로 나온다

맥스웰은 전기 실험의 상수 \(\varepsilon_0\)(엡실론 영)와 자석 실험의 상수 \(\mu_0\)(뮤 영)로 전파의 속도를 계산했습니다(전파는 어떻게 만들어질까? 편).

\[c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{11.13 \times 10^{-18}}} = \frac{1}{3.336 \times 10^{-9}} \approx 3.00 \times 10^8\ \text{m/s}\]

지수 −18은 짝수라 절반인 −9가 됩니다. 앞의 수는 \(\sqrt{11.13} \approx 3.336\)입니다. 제곱근을 구할 때는 지수가 짝수가 되도록 맞추면 편합니다.

✏️ 스스로 풀어 보기

1. \(10^5 \times 10^{-2}\)는 얼마일까요?
   정답 보기

   지수를 더해 \(10^{5+(-2)} = 10^3 = 1{,}000\)입니다.
2. \(\sqrt{10^6}\)과 \(\sqrt{4 \times 10^6}\)은 각각 얼마일까요?
   정답 보기

   \(\sqrt{10^6} = 10^3 = 1{,}000\). \(\sqrt{4 \times 10^6} = \sqrt{4} \times \sqrt{10^6} = 2 \times 10^3 = 2{,}000\)입니다.
3. 잡음을 지금의 10분의 1로 줄이려면 관측 시간을 몇 배로 늘려야 할까요?
   정답 보기

   잡음은 \(\dfrac{1}{\sqrt{\tau}}\)에 비례합니다. \(\sqrt{100} = 10\)이므로 100배 늘려야 합니다.

🔗 이 수학이 쓰이는 곳

• 진폭 — 세기 \(I \propto A^2\), 잡음 \(\Delta T \approx \dfrac{T_{\text{sys}}}{\sqrt{\Delta\nu\,\tau}}\), \(\sqrt{10^8} = 10^4\)
• CCTV — 전선 손실 \(P = I^2 R\)
• AM 진폭변조 — 측파대 전력 \(\left(\dfrac{m}{2}\right)^2 P_c\), \(P = \dfrac{A^2}{2R}\)
• 웹카메라 동작원리 — 광자 잡음 \(\text{SNR} \approx \sqrt{N}\)
• 디지털변환 ADC — 감도 비교 \(0.88 \times \sqrt{8} \approx 2.5\)
• 안테나의 전파 송신, 라디오의 송신과 수신원리 — 공진 주파수 \(f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)
• 전파는 어떻게 만들어질까? — \(10^{-6} \times 10^{-12} = 10^{-18}\), \(c = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}\)
• 대용량 데이터 전송 및 수신 — TCP 속도 식의 \(\dfrac{1.22}{\sqrt{p}}\)
• 축전기·코일과 교류의 만남 — 공진 주파수 \(f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\), 임피던스 \(Z = \sqrt{R^2 + X^2}\), 에너지 \(\tfrac12CV^2\)

본 교육자료는 Anthropic(Claude) 및 OpenAI(ChatGPT)를 활용하여 제작하였으며, 제작자가 내용을 검토·편집하였습니다. 주요 참고자료와 출처는 각 페이지의 「참고 자료 및 출처」에 명시하였습니다. 출처가 별도로 표기되지 않은 페이지와 참고자료에 포함되지 않은 내용은 제작자가 직접 작성하거나 정리한 것입니다. 내용에 오류가 있거나 수정이 필요한 사항을 발견하시면 kvnsite@kasi.re.kr로 알려 주시기 바랍니다.