🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 압축하지 않은 영상의 데이터 속도

상황: 방송국이 거실의 FHD TV(1920 × 1080)에는 초당 30장, UHD TV(3840 × 2160)에는 초당 60장의 영상을 압축하지 않고 그대로 보낸다고 해 봅시다.

1. FHD 한 화면의 화소 수: \(1920 \times 1080 = 2{,}073{,}600\) → 화면 한 장이 약 207만 개의 점으로 되어 있다는 뜻입니다.
2. FHD 1초 분량: \(1920 \times 1080 \times 24\ \text{bit} \times 30\ \text{/s} \approx 1.49\times10^{9}\ \text{bit/s} = 1.49\ \text{Gbps}\) → 1초에 약 15억 개의 비트(0 또는 1)를 보내야 합니다.
3. UHD 1초 분량: \(3840 \times 2160 \times 24\ \text{bit} \times 60\ \text{/s} \approx 1.19\times10^{10}\ \text{bit/s} = 11.9\ \text{Gbps}\) → 화소가 4배, 장수가 2배라 FHD의 8배입니다.
4. 채널과 비교: 지상파 HD 방식(ATSC 1.0)은 채널 하나(6 MHz)에 약 19.4 Mbps를 싣습니다. FHD를 그대로 보내려면 \(1.49\ \text{Gbps} \div 19.4\ \text{Mbps} \approx 77\)배를 줄여야 합니다. UHD를 약 25 Mbps로 보낸다고 하면 \(11.9\ \text{Gbps} \div 25\ \text{Mbps} \approx 480\)배를 줄여야 합니다. 그래서 압축 기술이 TV의 핵심입니다.
5. 소리와 비교: CD 음질의 소리는 약 1.4 Mbps입니다 → 압축하지 않은 FHD 영상은 그보다 약 1,000배 많은 정보입니다.

📐 수학 도움말: 8비트로는 \(2^8 = 2 \times 2 \times \cdots \times 2\)(8번) \(= 256\)가지, 즉 0 ~ 255의 밝기를 나타냅니다. 빨강·초록·파랑 세 색이니 \(8 \times 3 = 24\)비트입니다. M(메가)는 100만(\(10^6\)), G(기가)는 10억(\(10^9\))이라 1 Gbps = 1,000 Mbps입니다. 단위가 다른 두 값을 나눌 때는 먼저 맞춥니다: \(1{,}490\ \text{Mbps} \div 19.4\ \text{Mbps} \approx 77\).
📘 기초 수학 참고: 2진수와 비트 · 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: 영상 데이터는 '화소 수 × 화소당 비트 × 초당 장수'로 금방 수십억 비트가 됩니다. 방송 채널에 넣으려면 수십 ~ 수백 배 압축이 꼭 필요합니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 채널 번호와 주파수, 안테나 길이

상황: 우리 동네 지상파 방송이 20번 채널로 나온다고 해 봅시다. 국내 지상파 UHF 채널은 14번이 470 ~ 476 MHz이고, 번호가 하나 오를 때마다 6 MHz씩 올라갑니다: \(f_{\text{시작}}(n) = 470 + 6\,(n - 14)\ \text{MHz}\).

1. 20번 채널의 주파수: \(470 + 6 \times (20 - 14) = 470 + 6 \times 6 = 506\ \text{MHz}\), 폭이 6 MHz이므로 506 ~ 512 MHz → TV 튜너가 골라 듣는 주파수 구간입니다.
2. 파장: UHF 대역 가운데쯤인 600 MHz로 어림하면 \(\lambda = \dfrac{3\times10^8\ \text{m/s}}{600\times10^6\ \text{Hz}} = 0.5\ \text{m}\) → 전파의 물결 한 번이 50 cm라는 뜻입니다.
3. 반파장: \(\lambda / 2 = 25\ \text{cm}\)(20번 채널이면 약 29 cm) → 옥상의 TV 안테나(야기 안테나)에 수십 cm 길이의 막대가 줄지어 있는 것은 UHF 전파의 반파장이 이 정도이기 때문입니다(안테나 편 참고).
4. 채널에 싣는 비트: HD 방식 8-VSB는 1초에 약 1,076만 개의 심볼을 보내고, 심볼마다 3비트이므로 \(10.76\times10^6 \times 3 \approx 32.3\) Mbps → 이 가운데 오류 정정용 여분을 빼면 19.4 Mbps가 남습니다.

📐 수학 도움말: 괄호 안을 먼저 계산합니다: \(20 - 14 = 6\). \(10^6\)은 100만이라 600 MHz = \(600 \times 10^6\) Hz = 6억 Hz입니다. 8-VSB의 '8'은 신호 높이가 8단계라는 뜻이고, \(2 \times 2 \times 2 = 8\)이므로 한 번에 3비트를 구별합니다.
📘 기초 수학 참고: 큰 수·작은 수와 단위 · 2진수와 비트

👉 정리: 채널 번호만 알면 주파수를 바로 구할 수 있고, 주파수에서 파장과 안테나 막대 길이도 어림할 수 있습니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 반사파는 얼마나 늦게 올까?

상황: 아파트 TV 안테나에 송신소 전파가 곧장 들어오고, 같은 전파가 고층 건물에 부딪혀 3 km를 더 돌아서 한 번 더 들어온다고 해 봅시다.

1. 반사파가 늦는 시간: \(\dfrac{3000\ \text{m}}{3\times10^8\ \text{m/s}} = 10\ \mu\text{s}\) → 반사파가 10만 분의 1초 늦게 도착한다는 뜻입니다.
2. OFDM 심볼 하나의 길이(8K 방식 예): \(\dfrac{1}{843.75\ \text{Hz}} \approx 1.19\ \text{ms} = 1190\ \mu\text{s}\) → 부반송파 하나가 같은 값을 유지하는 시간입니다.
3. 비교: \(10 \div 1190 \approx 0.008\), 즉 약 0.8 % → 아주 작은 어긋남이라, 보호 구간(아래 예시에서는 약 150 μs) 안에서 흡수됩니다.
4. 반송파 하나라면: 1초에 1,076만 개 심볼을 보내면 심볼 하나가 약 0.09 μs → 10 μs는 심볼 100개가 넘게 밀린 것이어서, 수신기가 복잡한 보정(등화)을 해야 합니다.

📐 수학 도움말: 1 ms(밀리초)는 1,000분의 1초, 1 μs(마이크로초)는 100만 분의 1초라 1 ms = 1,000 μs입니다. '1 ÷ 주파수'(역수)는 한 번 바뀌는 데 걸리는 시간입니다. 1초에 843.75번 바뀌면 한 번은 약 1.19 ms입니다.
📘 기초 수학 참고: 큰 수·작은 수와 단위 · 분수·비율·비례

👉 정리: 심볼이 길수록 같은 반사파 지연이 상대적으로 작아집니다. 그래서 느린 부반송파 수천 개를 쓰는 OFDM이 도시의 건물 반사에 강합니다.