분수·비율·비례
전파교실에는 이런 식이 자주 나옵니다.
\[T = \frac{1}{f}, \qquad \lambda = \frac{c}{f}, \qquad I \propto \frac{1}{r^2}\]
주기와 주파수(주파수 편), 파장과 주파수(파장 편),
거리에 따른 전파 세기(진폭 편)입니다.
세 식 모두 "한쪽이 몇 배가 되면 다른 쪽은 몇 배가 될까?" 를 알려 줍니다.
분수와 비례를 알면 계산기 없이도 답을 어림할 수 있습니다.
① 분수와 역수 — \(T = 1/f\) 읽기
분수 \(\dfrac{1}{4}\)은 "1을 똑같이 4조각 낸 것 중 하나"입니다. 소수로는 0.25입니다.
가로줄은 나누기 라는 뜻입니다. 위쪽 수를 아래쪽 수로 나눕니다.
분수의 위아래를 뒤집은 수를 역수 라고 합니다. 4의 역수는 \(\dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{1}{4}\)의 역수는 4입니다.
주기 \(T\)는 한 번 진동하는 데 걸리는 시간, 주파수 \(f\)는 1초에 진동하는 횟수입니다.
1초에 4번 진동하면(4 Hz) 한 번에 \(\dfrac{1}{4}\)초가 걸립니다. 그래서 둘은 서로 역수입니다.
\[T = \frac{1}{f} \qquad f = 4\ \text{Hz} \ \Rightarrow\ T = \frac{1}{4}\ \text{s} = 0.25\ \text{s}\]
FM 94.5 MHz처럼 주파수가 크면 주기는 아주 짧아집니다(약 10.6 ns). 큰 수·작은 수를 쓰는 법은 큰 수·작은 수와 단위 편을 참고하세요.
② 비율과 퍼센트 — "전체 중 얼마"
비율 은 한 양을 다른 양으로 나눈 값입니다. 20문제 중 16문제를 맞히면 \(\dfrac{16}{20} = 0.8\)입니다.
여기에 100을 곱한 것이 퍼센트(%) 입니다. 0.8 × 100 = 80 %입니다. 퍼센트는 "100개 중 몇 개"라는 뜻입니다.
분수·소수·퍼센트 바꿔 보기
분수 소수 퍼센트 전파교실 속 예
\(\frac{1}{2}\) 0.5 50 % AM 변조 지수 \(m = 0.5\) = 50 % 변조 \(\frac{1}{3}\) 약 0.33 약 33 % AM 방송 전력 중 소리를 나르는 몫(최대) \(\frac{4}{5}\) 0.8 80 % AM 80 % 변조 \(\frac{1}{1000}\) 0.001 0.1 % VLBI 자료 1천 개 중 1개 손실
③ 비례(∝) — 함께 커지는 관계
과자 1봉지가 1,000원이면 3봉지는 3,000원입니다. 봉지 수가 2배, 3배가 되면 값도 2배, 3배가 됩니다.
이런 관계를 비례 (정비례)라고 합니다.
기호 ∝ 는 "비례한다"라고 읽습니다. \(y \propto x\)는 "x가 2배가 되면 y도 2배"라는 뜻입니다.
정확한 값보다 "몇 배로 변하는가" 만 알고 싶을 때 씁니다.
전파의 예: 전파망원경이 1초에 기록하는 자료 양이 일정하면, 관측 시간 ∝ 자료 양 입니다. 8시간에 57.6 TB라면 4시간에는 그 절반인 28.8 TB입니다.
④ 반비례 — 하나가 커지면 하나는 작아지는 관계
피자 한 판을 2명이 나누면 한 사람이 \(\dfrac{1}{2}\)판, 4명이 나누면 \(\dfrac{1}{4}\)판을 먹습니다.
사람 수가 2배가 되면 한 사람 몫은 절반이 됩니다. 이런 관계를 반비례 라고 합니다.
파장과 주파수가 바로 반비례입니다. 빛의 속도 \(c\)는 늘 같으므로, 주파수 \(f\)가 2배가 되면 파장 \(\lambda\)(람다)는 절반이 됩니다.
\[\lambda = \frac{c}{f} \qquad\Rightarrow\qquad \lambda \propto \frac{1}{f}\]
주파수를 몇 배로 하면 파장은?
주파수 100 MHz 200 MHz (2배) 300 MHz (3배) 1,000 MHz (10배) 파장 3 m 1.5 m (\(\frac{1}{2}\)) 1 m (\(\frac{1}{3}\)) 0.3 m (\(\frac{1}{10}\))
🧮 계산 예시 — KVN 네 가지 주파수의 파장을 배수로 어림하기
상황: KVN은 22, 43, 86, 129 GHz 전파를 받습니다. 22 GHz의 파장이 약 13.6 mm라는 것만 알 때, 나머지 파장을 어림해 봅시다.
43 GHz는 22 GHz의 약 2배(\(43 \div 22 \approx 1.95\))입니다. 반비례이므로 파장은 약 절반: \(13.6 \div 1.95 \approx 7.0\ \text{mm}\)
86 GHz는 43 GHz의 2배이므로 파장은 또 절반: \(7.0 \div 2 = 3.5\ \text{mm}\)
129 GHz는 43 GHz의 3배이므로 파장은 3분의 1: \(7.0 \div 3 \approx 2.3\ \text{mm}\)
📐 수학 도움말: 반비례에서는 한쪽을 곱한 만큼 다른 쪽을 나눕니다 . \(\lambda = c/f\)에 직접 넣어 계산해도 6.98 mm, 3.49 mm, 2.33 mm로 같은 답이 나옵니다.
👉 정리: 반비례 관계에서는 기준값 하나만 알면 "몇 배"만 따져서 나머지를 바로 구할 수 있습니다.
⑤ 역제곱 — 거리가 2배면 세기는 4분의 1
스프레이를 벽에 뿌린다고 생각해 보세요. 벽에서 멀어질수록 페인트가 넓게 퍼져 색이 옅어집니다.
안테나에서 나온 전파도 공처럼 사방으로 퍼집니다. 거리가 2배가 되면 전파가 퍼지는 넓이는 가로 2배 × 세로 2배 = 4배 가 됩니다.
같은 에너지가 4배 넓이에 나뉘니, 한곳에 닿는 세기는 \(\dfrac{1}{4}\)이 됩니다.
안테나
거리 1
1칸
거리 2
4칸 → 세기 ¼
거리 3
9칸 → 세기 1/9
이것을 역제곱 관계라고 합니다. "거리의 제곱(\(r^2 = r \times r\))의 역수에 비례한다"는 뜻입니다.
\[I \propto \frac{1}{r^2} \qquad r \to 2\text{배} \ \Rightarrow\ I \to \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}\text{배}\]
10배 멀어지면 \(\dfrac{1}{100}\), 100배 멀어지면 \(\dfrac{1}{10{,}000}\)입니다. 아주 먼 천체의 전파가 그토록 약한 까닭입니다.
🧮 계산 예시 — 정지궤도 위성의 전파는 저궤도 위성보다 얼마나 약할까?
상황: 같은 세기로 전파를 보내는 위성 두 개가 있습니다. 하나는 약 550 km 높이(저궤도), 하나는 약 35,800 km 높이(정지궤도)에 있습니다(위성통신 참고).
거리가 몇 배인지 구합니다. \(35{,}800 \div 550 \approx 65\) → 정지궤도 위성이 약 65배 멀리 있습니다.
역제곱이므로 세기는 \(\dfrac{1}{65 \times 65} = \dfrac{1}{4{,}225}\) → 약 4,200분의 1입니다.
📐 수학 도움말: 역제곱에서는 "거리 배수"를 한 번 더 곱해서(제곱해서) 그 수로 나눕니다. 제곱은 거듭제곱과 제곱근 편에서 더 다룹니다.
👉 정리: 거리가 65배일 뿐인데 세기는 4,000배 넘게 약해집니다. 그래서 위성 방송 수신에는 접시 안테나가 필요합니다.
🔍 세 가지 관계 비교해 보기
👉 관계를 고르고 슬라이더로 x를 바꿔 보세요!
관계 고르기
x
회색 점은 x = 1일 때(기준), 빨간 점은 지금 위치입니다. 역제곱의 상대 세기는 1 m에서의 세기를 100으로 둔 값입니다. 자료 양은 16 Gbps(1시간에 7.2 TB)로, 파장은 \(\lambda = c/f\)(1 GHz에서 30 cm)로 계산합니다.
✏️ 스스로 풀어 보기
주기가 0.02초인 교류의 주파수는 몇 Hz일까요?
정답 보기
\(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0.02} = 50\ \text{Hz}\). 0.02초는 \(\dfrac{1}{50}\)초이므로, 1초에 50번 진동합니다.
100 MHz 전파의 파장은 3 m입니다. 300 MHz 전파의 파장은?
정답 보기
주파수가 3배이므로 반비례로 파장은 \(\dfrac{1}{3}\)입니다. \(3\ \text{m} \div 3 = 1\ \text{m}\).
공유기에서 3배 멀어지면 받는 전파의 세기는 몇 분의 1이 될까요? (벽 같은 방해물은 없다고 합니다.)
정답 보기
역제곱이므로 \(\dfrac{1}{3 \times 3} = \dfrac{1}{9}\)입니다. 위 그림의 "거리 3, 9칸"과 같습니다.
🔗 이 수학이 쓰이는 곳
주파수 — 역수 \(f = \dfrac{1}{T}\), 반비례 \(\lambda = \dfrac{c}{f}\)FM 주파수변조 — \(T = \dfrac{1}{f_c} \approx 10.9\ \text{ns}\)파장 — \(\lambda = c/f\), 도플러 효과의 비율 \(\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0} \approx \dfrac{v}{c}\)진폭 — 역제곱 \(I \propto \dfrac{1}{r^2}\)AM 진폭변조 — 변조 지수 \(m = 0.8\)(80 %), 효율 \(\dfrac{25}{75} \approx 33\,\%\)안테나의 전파 송신 — \(\lambda = c/f\)로 안테나 길이 정하기전파는 어떻게 만들어질까? — 전기력의 역제곱 \(F = \dfrac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\)축전기·코일과 교류의 만남 — \(X_L\)은 주파수에 비례, \(X_C\)는 반비례
핵심 정리
분수의 가로줄은 나누기입니다. 위아래를 뒤집은 수가 역수이고, 주기와 주파수는 서로 역수(\(T = 1/f\))입니다.
퍼센트는 비율에 100을 곱한 값입니다(0.8 = 80 %).
비례(∝): 한쪽이 2배면 다른 쪽도 2배. 반비례: 한쪽이 2배면 다른 쪽은 절반(\(\lambda \propto 1/f\)).
역제곱(\(\propto 1/r^2\)): 거리가 2배면 세기는 \(\dfrac{1}{4}\), 10배면 \(\dfrac{1}{100}\)입니다.
🧑🏫 선생님·학부모님을 위한 설명 도움말
자주 하는 오해
"반비례는 한쪽이 커질 때 다른 쪽이 줄기만 하면 된다" — 반비례는 두 양의 곱이 일정 한 관계입니다(\(f \times \lambda = c\)).
한쪽이 2배일 때 다른 쪽이 정확히 절반이어야 합니다. 줄어들기만 하는 관계가 모두 반비례인 것은 아닙니다.
"거리가 2배면 세기는 절반" — 전파는 넓이(가로 × 세로)로 퍼지므로 4분의 1입니다. 위 사각형 그림의 칸 수를 함께 세어 보면 쉽게 이해합니다.
"200 % 늘었다 = 2배가 되었다" — 200 % 늘면 원래의 3배, 200 %가 되면 2배입니다. 뉴스 기사의 표현을 함께 비교해 보세요.
"∝는 =와 같다" — ∝는 "몇 배로 변하는지"만 말합니다. 정확한 값을 구하려면 \(\lambda = c/f\)처럼 비례 상수(여기서는 \(c\))가 있는 식이 필요합니다.
비유로 설명하기
비례는 "과자 봉지와 값", 반비례는 "피자 나누기", 역제곱은 "스프레이 페인트"로 설명하면 세 관계를 구별하기 쉽습니다.
주기와 주파수는 "줄넘기"에 비유할 수 있습니다. 1초에 2번 넘으면(2 Hz) 한 번에 0.5초가 걸립니다.
함께 해 볼 질문·활동
손전등을 벽에서 50 cm, 1 m 떨어뜨려 비추고 빛 동그라미의 지름과 밝기를 비교하기(지름 2배 → 넓이 4배 → 밝기 약 1/4).
스마트폰의 Wi-Fi 신호 세기(dBm) 앱으로 공유기에서 1 m, 2 m, 4 m 떨어져 값 기록하기. 벽·사람 때문에 이론과 다른 점도 이야기해 보기. dB 읽는 법은 로그와 데시벨(dB) 편 참고.
위 그래프 탐험기에서 세 관계를 바꿔 가며 "x가 2배일 때 y는?"을 먼저 예상하고 확인하기.
kvnsite@kasi.re.kr 로 알려 주시기 바랍니다.