🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 서울에서 부산까지 소리와 전파의 도착 시간

상황: 서울의 방송국에서 아나운서가 한 말이 부산(직선거리 약 325 km)까지 가는 데 걸리는 시간을, 소리(약 340 m/s)로 직접 보낼 때와 전파(약 \(3\times10^8\) m/s)에 실어 보낼 때로 비교해 봅시다. 걸리는 시간은 '거리 ÷ 속도'입니다.

1. 단위 맞추기: \(325\ \text{km} = 325\,000\ \text{m}\) → 속도가 '1초에 몇 m'이므로, 거리도 m로 바꿔야 바로 나눌 수 있습니다.
2. 소리: \(t_{\text{소리}} = \dfrac{325\,000\ \text{m}}{340\ \text{m/s}} \approx 956\ \text{s} \approx 16\ \text{분}\) → 소리로는 16분이나 걸리고, 그나마 그 전에 너무 약해져 들리지도 않습니다.
3. 전파: \(t_{\text{전파}} = \dfrac{325\,000\ \text{m}}{3\times10^8\ \text{m/s}} \approx 0.001\,08\ \text{s} = 1.08\ \text{ms}\) → 약 1천분의 1초로, 눈 한 번 깜빡이는 시간(약 0.1초)의 100분의 1도 안 됩니다.
4. 비교: \(\dfrac{3\times10^8}{340} \approx 880\,000\) → 전파는 소리보다 약 88만 배 빠릅니다.

📐 수학 도움말: \(3\times10^8\)은 3 뒤에 0을 8개 붙인 수, 곧 3억입니다(\(10^2 = 100\), \(10^3 = 1000\)처럼 10의 오른쪽 위 숫자는 0의 개수입니다). ms(밀리초)는 1천분의 1초입니다.
📘 기초 수학 참고: 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: 그래서 라디오 생방송은 전국 어디서나 '거의 동시에' 들립니다. 인터넷 라디오는 데이터를 모으고 처리하는 시간 때문에 보통 수 초 늦게 들립니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 반송파의 파장과 안테나 길이

상황: 1 kHz 소리 신호, AM 900 kHz 반송파, FM 100 MHz 반송파를 각각 안테나로 내보낸다면 안테나는 얼마나 길어야 할까요? 파장은 \(\lambda = c/f\)(전파의 속도 ÷ 주파수)이고, 효율이 좋은 단순한 안테나는 파장의 1/4 정도 길이가 필요합니다.

1. 소리 1 kHz: \(\lambda = \dfrac{3\times10^8}{1\times10^3} = 3\times10^5\ \text{m} = 300\ \text{km} \;\Rightarrow\; \dfrac{\lambda}{4} = 75\ \text{km}\) → 소리 주파수 그대로 보내려면 75 km짜리 안테나가 필요하다는 뜻으로, 만들 수 없는 길이입니다.
2. AM 900 kHz: \(\lambda = \dfrac{3\times10^8}{9\times10^5} \approx 333\ \text{m} \;\Rightarrow\; \dfrac{\lambda}{4} \approx 83\ \text{m}\) → 그래서 AM 송신탑은 수십 m 높이로 세웁니다. 휴대용 라디오는 83 m짜리 안테나 대신 코일을 감은 작은 페라이트 막대 안테나로 전파의 자기장을 받습니다.
3. FM 100 MHz: \(\lambda = \dfrac{3\times10^8}{1\times10^8} = 3\ \text{m} \;\Rightarrow\; \dfrac{\lambda}{4} = 75\ \text{cm}\) → 라디오의 막대 안테나 길이가 대략 이 정도인 이유입니다.

📐 수학 도움말: 단위 앞의 k(킬로)는 \(10^3\)(천), M(메가)는 \(10^6\)(백만)입니다. 거듭제곱끼리 나누면 오른쪽 위 숫자를 뺍니다(\(10^8 \div 10^3 = 10^{8-3} = 10^5\)). 주파수가 1,000배 커지면 파장은 1,000분의 1로 짧아집니다.
📘 기초 수학 참고: 큰 수·작은 수와 단위 · 거듭제곱과 제곱근

👉 정리: 소리를 FM 반송파에 실으면 안테나가 75 km에서 75 cm로 줄어듭니다. 이것이 반송파를 쓰는 큰 이유입니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 한 방송이 차지하는 주파수 폭

상황: 주파수를 여러 방송이 나누어 쓰는 '도로'라고 하면, 방송 하나는 몇 차선만큼의 폭을 쓸까요? AM은 소리를 약 4.5 kHz까지, FM은 약 15 kHz까지 보내고, 국내 FM은 주파수가 최대 \(\Delta f = 75\) kHz만큼 흔들립니다.

1. AM — 반송파 \(f_c\)에 소리 \(f_m\)을 실으면 \(f_c - f_m\)과 \(f_c + f_m\)에 새 성분(측파대)이 생깁니다. 900 kHz 방송이라면 \(900 - 4.5 = 895.5\) kHz부터 \(900 + 4.5 = 904.5\) kHz까지입니다. \(B_{\text{AM}} = 2 f_m = 2 \times 4.5\ \text{kHz} = 9\ \text{kHz}\) → 반송파 위아래로 소리 폭만큼씩, 모두 9 kHz를 차지한다는 뜻입니다. 그래서 국내 AM 방송 주파수는 9 kHz 간격으로 정해져 있습니다(711 kHz = \(531 + 9 \times 20\), 900 kHz = \(531 + 9 \times 41\)).
2. FM — 주파수가 위아래로 최대 \(\Delta f\)만큼 흔들리므로, 대략 다음 식(카슨의 법칙)으로 폭을 어림합니다. \(B_{\text{FM}} \approx 2(\Delta f + f_m) = 2 \times (75 + 15)\ \text{kHz} = 180\ \text{kHz}\) → 흔들리는 폭에 소리 폭을 더한 만큼을 위아래로 쓴다는 뜻입니다.
3. 비교: \(180 \div 9 = 20\) → FM은 AM보다 약 20배 넓은 폭을 쓰는 대신 높은 소리까지 깨끗하게 보냅니다.

📐 수학 도움말: 괄호가 있으면 괄호 안을 먼저 계산합니다(\(75 + 15 = 90\), 그다음 \(2 \times 90 = 180\)).

👉 정리: FM은 한 방송이 넓은 자리를 차지하므로, 넓은 주파수 자리가 있는 VHF 대역에서 방송합니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — AM 라디오의 동조 다이얼

상황: AM 라디오에 흔히 쓰는 코일 \(L = 240\ \mu\text{H}\)를 달았습니다. 1 MHz(1,000 kHz) 방송을 고르려면 다이얼(가변 축전기)을 몇 pF에 맞춰야 할까요?

1. 식 바꾸기: 위 식을 \(C\)에 대해 풀면 \(C = \dfrac{1}{(2\pi f_0)^2 L}\) → 고르려는 주파수와 코일 값을 알면 필요한 축전기 값을 바로 구할 수 있다는 뜻입니다.
2. 분모 계산: \((2\pi \times 10^6)^2 \times 240\times10^{-6} \approx (3.95\times10^{13}) \times (2.4\times10^{-4}) \approx 9.47\times10^{9}\) → 주파수가 높을수록, 코일이 클수록 이 값이 커지고, 그만큼 필요한 C는 작아집니다.
3. 나누기: \(C = \dfrac{1}{9.47\times10^{9}} \approx 1.06\times10^{-10}\ \text{F} \approx 106\ \text{pF}\) → 다이얼을 106 pF 위치로 돌리면 1 MHz 방송이 가장 크게 들린다는 뜻입니다. 같은 계산을 AM 대역의 양 끝에 해 보면 아래 표와 같습니다.

4. 비교: 주파수가 약 3배(531 → 1,602 kHz)로 바뀌려면 C는 약 9배(374 → 41 pF)로 바뀌어야 합니다 → \(f_0\)가 \(\sqrt{C}\)에 반비례하기 때문입니다. C를 9배 줄이면 \(\sqrt{9} = 3\)이므로 주파수는 3배가 됩니다.

📐 수학 도움말: 제곱은 같은 수를 두 번 곱하는 것(\(3^2 = 9\)), 제곱근(√)은 '제곱해서 그 수가 되는 수'입니다(\(\sqrt{9} = 3\)). μ(마이크로)는 \(10^{-6}\)(백만분의 1), p(피코)는 \(10^{-12}\)(1조분의 1)입니다. \(\pi\)(파이)는 약 3.14인 수입니다.
📘 기초 수학 참고: 거듭제곱과 제곱근 · 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: 그래서 AM 크리스털 라디오에는 대략 40 ~ 370 pF 사이에서 바뀌는 가변 축전기를 씁니다. 아래 '직접 해 보기'의 손잡이가 바로 이것입니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 포락선 검파기의 저항과 축전기

상황: 크리스털 라디오로 1 MHz AM 방송을 듣는데, 검파부에 \(R = 10\ \text{k}\Omega\) 저항과 \(C = 2.2\ \text{nF}\) 축전기를 달았다고 해 봅시다. 포락선만 따라가려면, R과 C가 정하는 시정수 \(RC\)(축전기가 채워졌다 비워지는 데 걸리는 시간의 기준)가 반송파 한 주기보다는 충분히 길고, 소리 한 주기보다는 충분히 짧아야 합니다.

1. 반송파 한 주기: \(\dfrac{1}{1\ \text{MHz}} = 1\ \mu\text{s}\) → 반송파가 한 번 오르내리는 데 100만분의 1초가 걸린다는 뜻입니다.
2. 가장 높은 소리의 한 주기: \(\dfrac{1}{4.5\ \text{kHz}} \approx 222\ \mu\text{s}\) → 소리는 반송파보다 약 200배 느리게 오르내립니다.
3. 시정수: \(RC = 10^4 \times 2.2\times10^{-9} = 22\times10^{-6}\ \text{s} = 22\ \mu\text{s}\) → 반송파 주기의 22배, 소리 주기의 약 10분의 1이므로 두 주기 사이에 알맞게 들어갑니다.

📐 수학 도움말: 한 주기(1번 오르내리는 시간)는 '1 ÷ 주파수'입니다. 1초에 4번 흔들리면 한 번에 1/4초가 걸리는 것과 같습니다. n(나노)는 \(10^{-9}\)(10억분의 1)입니다. 다른 단위 접두어는 위 ②·③의 계산 예시를 참고하세요.
📘 기초 수학 참고: 분수·비율·비례 · 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: RC가 너무 짧으면 고주파 떨림이 그대로 남아 '지지직'거리고, 너무 길면 축전기가 소리의 빠른 변화를 따라가지 못해 높은 소리가 뭉개집니다. 실제 키트의 부품 값은 이어폰의 성질에 따라 조금씩 다르며, 아래 ⑤의 실험에서 '검파기 RC'를 짧게·알맞게·길게 바꾸면 이 차이를 파형과 소리로 직접 확인할 수 있습니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 900 kHz 방송을 중간 주파수로 바꾸기

상황: 슈퍼헤테로다인 AM 라디오로 900 kHz 방송을 듣는다고 해 봅시다. AM 라디오는 보통 중간 주파수로 \(f_{\text{IF}} = 455\) kHz를 씁니다.

1. 국부 발진기 맞추기: \(f_{\text{LO}} = 900 + 455 = 1355\ \text{kHz}\) → 다이얼을 900 kHz에 맞추면, 라디오 안의 발진기는 그보다 455 kHz 높은 1,355 kHz로 진동한다는 뜻입니다.
2. 섞기: 두 신호를 섞으면 차이 \(1355 - 900 = 455\ \text{kHz}\)와 합 \(1355 + 900 = 2255\ \text{kHz}\)가 함께 생깁니다 → 455 kHz 필터가 차이만 통과시키고 합은 걸러 냅니다.
3. 영상 주파수: 국부 발진기보다 455 kHz 높은 주파수도 똑같이 455 kHz를 만듭니다(영상 주파수). \(f_{\text{영상}} = f_{\text{RF}} + 2 f_{\text{IF}} = 900 + 2\times455 = 1810\ \text{kHz}\) → \(1810 - 1355 = 455\)이므로, 이 주파수의 전파가 들어오면 함께 들려 버린다는 뜻입니다.
4. 막기: 1,810 kHz는 AM 방송 대역(531 ~ 1,602 kHz) 밖이므로, 안테나 바로 뒤의 간단한 필터로 쉽게 막을 수 있습니다. FM 라디오는 보통 \(f_{\text{IF}} = 10.7\) MHz를 씁니다. FM 대역의 폭(108 − 88 = 20 MHz)이 \(2 f_{\text{IF}} = 21.4\) MHz보다 좁아서, 어떤 방송을 들어도 영상 주파수가 FM 대역 밖에 놓입니다.

👉 정리: 방송국마다 다른 주파수를 늘 같은 455 kHz나 10.7 MHz로 바꾸어 주므로, 성능 좋은 필터와 증폭기를 하나만 만들어 두면 됩니다.