전파교실에는 "얼마나 일어나기 쉬운가"와 "여러 번 모으면 어떻게 되나"를 묻는 식이 나옵니다.
앞의 것은 "100조각이 모두 맞게 도착할 확률은 약 4.8%"라는 뜻입니다(대용량 데이터 전송 및 수신 편). 뒤의 것은 "빛(전파)을 N개 모으면 신호가 잡음보다 \(\sqrt{N}\)배 또렷해진다"는 뜻입니다(웹카메라 동작원리 편).
확률은 어떤 일이 얼마나 일어나기 쉬운지를 수로 나타낸 것입니다. 통계는 많은 숫자를 평균·퍼짐 같은 몇 개의 숫자로 짧게 요약하는 방법입니다. 일기예보, 복권, 여론조사를 바르게 읽는 데에도 똑같이 쓰입니다.
모든 경우가 똑같이 일어나기 쉬울 때, 확률은 이렇게 셉니다.
동전은 앞·뒤 2가지 중 앞면 1가지라서 앞면이 나올 확률은 \(\dfrac{1}{2}\)입니다. 주사위는 6가지 중 하나라서 6이 나올 확률은 \(\dfrac{1}{6}\)입니다.
확률은 0(절대 안 일어남)부터 1(반드시 일어남) 사이의 수입니다. 100을 곱하면 퍼센트가 됩니다(\(\frac{1}{2}\) = 50%, \(\frac{1}{6}\) ≈ 16.7%, 분수·비율·비례 편).
"강수확률 30%"는 "이런 날씨가 100번 있으면 그중 약 30번은 비가 온다"는 뜻입니다. 하루의 30% 시간 동안 비가 온다는 뜻이 아닙니다.
확률이 \(\frac{1}{2}\)이라고 해서 2번 던지면 꼭 1번 앞면이 나오지는 않습니다. 하지만 많이 던질수록 앞면 비율은 \(\frac{1}{2}\)에 가까워집니다. 이것을 큰 수의 법칙이라고 합니다. 아래에서 직접 던져 보세요.
👉 동전이나 주사위를 여러 번 던져, 나온 비율이 어디로 다가가는지 살펴보세요!
파란 선 = 지금까지 나온 비율, 빨간 점선 = 이론 확률(동전 1/2, 주사위 1/6). 가로축은 1, 10, 100, 1,000처럼 10배씩 늘어나는 눈금입니다.
처음 몇 번은 비율이 크게 출렁이지만, 1,000번, 10,000번으로 갈수록 빨간 점선에 붙습니다. 한 번 한 번은 알 수 없어도, 많이 모으면 예측할 수 있다는 것이 통계의 출발점입니다.
동전을 2번 던져 2번 다 앞면일 확률은 \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)입니다. 앞·앞, 앞·뒤, 뒤·앞, 뒤·뒤 4가지 중 1가지이기 때문입니다.
앞의 결과가 뒤에 영향을 주지 않을 때(독립), "A 그리고 B"의 확률은 두 확률을 곱합니다. 97% 성공을 100번 연속 해낼 확률이 \(0.97^{100} \approx 4.8\%\)밖에 안 되는 것도 이 규칙입니다(대용량 데이터 전송 및 수신 편의 계산 예시).
"적어도 한 번 일어날 확률"은 직접 세기 어렵습니다. 대신 반대인 "한 번도 안 일어날 확률"을 구해 1에서 뺍니다.
🧮 계산 예시 — 강수확률 30%가 이틀 이어지면?
상황: 토요일과 일요일 강수확률이 모두 30%입니다. 주말 이틀 중 적어도 하루 비가 올 확률은 얼마일까요? (두 날의 날씨가 서로 영향을 주지 않는다고 가정합니다.)
📐 수학 도움말: 30% + 30% = 60%로 더하면 틀립니다. 그렇게 더하면 강수확률 60%가 이틀이면 120%가 되어, 1(100%)을 넘어 버립니다. 확률은 1을 넘을 수 없습니다.
👉 정리: "적어도 한 번"은 1 − (모두 실패)로 구합니다. 하루하루는 30%라도 주말 전체로는 우산을 챙길 확률이 절반을 넘습니다.
같은 일을 아주 많이 되풀이했을 때 한 번에 평균 얼마가 나오는지를 기댓값이라고 합니다. "받는 값 × 그 확률"을 모두 더해 구합니다.
예를 들어 주사위를 던져 6이 나오면 600원을 받는 놀이의 기댓값은 \(600 \times \frac{1}{6} = 100\)원입니다. 한 판에 100원보다 비싸면 할수록 손해입니다.
🧮 계산 예시 — 1,000원짜리 복권 한 장의 기댓값
상황: 로또 6/45는 1~45 가운데 숫자 6개를 고르고, 한 장에 1,000원입니다. 1등(6개 모두 맞힘)의 상금을 20억 원이라고 해 봅시다(예시 — 실제 1등 상금은 회차마다 다릅니다).
📐 수학 도움말: 기댓값 \(= \sum (\text{값} \times \text{확률})\)입니다. \(\sum\)(시그마)는 "모두 더하기"라는 기호입니다(수식 기호 읽기 편). 8,145,060은 \(\dfrac{45 \times 44 \times 43 \times 42 \times 41 \times 40}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\)로 계산합니다.
👉 정리: 기댓값은 "아주 많이 했을 때의 평균"입니다. 복권 한 장을 산 사람에게 실제로 일어나는 일은 '평균 246원'이 아니라 대부분 '꽝'입니다.
동전에는 기억이 없습니다. 앞면이 5번 연속 나온 뒤에도 다음 한 번이 뒷면일 확률은 여전히 \(\frac{1}{2}\)입니다.
"앞면 5번 연속"은 던지기 전에 따지면 \(\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}\)로 드뭅니다. 하지만 이미 일어난 일은 다음 결과를 바꾸지 못합니다. 위 시뮬레이션에서 같은 면이 3번 넘게 이어질 때 확인해 보세요.
1년은 365일인데, 23명만 모여도 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 50%를 넘습니다(약 50.7%). 50명이면 약 97%입니다.
"나와 생일이 같은 사람"이 아니라 "누구든 두 사람"이기 때문입니다. 23명에서 두 사람씩 짝을 지으면 \(\dfrac{23 \times 22}{2} = 253\)쌍이나 됩니다.
"23명 모두 생일이 다를 확률"을 구해 1에서 뺍니다. 두 번째 사람은 첫 사람과 달라야 하니 \(\frac{364}{365}\), 세 번째는 \(\frac{363}{365}\) … 이렇게 23번째(\(\frac{343}{365}\))까지 곱합니다.
2월 29일은 빼고, 생일이 1년 내내 고르게 퍼져 있다고 가정한 값입니다.
1만 명 중 10명(0.1%)만 걸리는 드문 병이 있다고 해 봅시다. 검사는 병이 있으면 99% 양성으로, 병이 없어도 1%는 잘못 양성으로 나옵니다.
양성이 나온 약 110명 중 진짜 환자는 약 10명, 즉 약 9%뿐입니다. 원래 얼마나 흔한지(기저율)를 함께 봐야 결과를 바르게 읽을 수 있습니다. 그래서 드문 병은 다시 검사해 확인합니다.
숫자가 많을 때 "보통 얼마쯤인가"를 하나로 말하는 값을 대표값이라고 합니다. 대표적인 세 가지가 있습니다.
| 이름 | 구하는 법 | 예의 값 |
|---|---|---|
| 평균 | 모두 더해 개수로 나누기 | \((2+3+3+4+8) \div 5 = 4\) |
| 중앙값 | 크기 순으로 줄 세웠을 때 한가운데 값 | 3 |
| 최빈값 | 가장 많이 나온 값 | 3 |
세 값은 대개 비슷하지만, 아주 큰 값이 하나 끼면 평균만 크게 끌려갑니다. 그럴 때는 중앙값이 "보통"을 더 잘 보여 줍니다. 신발 가게가 가장 많이 팔리는 치수를 넉넉히 준비하는 것은 최빈값을 쓰는 예입니다.
🧮 계산 예시 — "우리 회사 평균 연봉은 8,700만 원"?
상황: 직원 5명의 연봉이 3,000만, 3,200만, 3,500만, 3,800만 원이고, 사장의 연봉은 3억 원입니다(예시).
📐 수학 도움말: 개수가 짝수이면 가운데 두 값의 평균을 중앙값으로 씁니다. 예: 1, 3, 5, 7의 중앙값은 \((3+5) \div 2 = 4\)입니다.
👉 정리: 한쪽으로 아주 큰 값이 있으면 평균은 부풀려집니다. 소득·집값 통계에서 평균과 함께 중앙값(중위소득, 중위 가격)을 보는 까닭입니다.
전파 관측 자료에도 휴대전화 같은 사람이 만든 전파(전파 간섭) 때문에 갑자기 튀는 값이 섞입니다. 이런 값에 덜 흔들리도록 중앙값을 함께 쓰기도 합니다.
평균이 같아도 숫자가 얼마나 흩어져 있는지는 다를 수 있습니다. A반 점수는 70, 70, 70, 70, 70이고 B반은 50, 60, 70, 80, 90입니다. 두 반 모두 평균은 70점입니다.
가장 쉬운 퍼짐은 범위(가장 큰 값 − 가장 작은 값)입니다. A반은 0, B반은 \(90 - 50 = 40\)입니다. 하지만 범위는 양 끝의 두 값만 봅니다. 그래서 모든 값을 쓰는 표준편차를 더 많이 씁니다.
표준편차는 "값들이 평균에서 보통 얼마나 떨어져 있나"를 나타냅니다. 기호로는 \(\sigma\)(시그마)라고 씁니다.
🧮 계산 예시 — B반 점수의 표준편차
상황: B반 점수 50, 60, 70, 80, 90의 평균은 70점입니다. 평균에서 보통 얼마나 떨어져 있을까요?
📐 수학 도움말: 제곱했다가 \(\sqrt{\ }\)로 되돌리면 단위가 다시 '점'이 됩니다(거듭제곱과 제곱근 편). A반은 차이가 모두 0이라 \(\sigma = 0\)입니다.
👉 정리: 표준편차가 작으면 값들이 평균 둘레에 모여 있고, 크면 넓게 흩어져 있습니다.
키, 측정 오차, 수신기 잡음처럼 작은 무작위 요인이 많이 더해져 생기는 값은 막대그래프로 그리면 가운데가 높은 종 모양이 됩니다. 이것을 정규분포라고 합니다.
정규분포에서는 평균에서 \(\pm 1\sigma\) 안에 약 68%, \(\pm 2\sigma\) 안에 약 95%, \(\pm 3\sigma\) 안에 약 99.7%가 들어갑니다. 예를 들어 과자 한 봉지의 무게가 평균 100 g, 표준편차 2 g이라면(예시) 98~102 g이 약 68%, 96~104 g이 약 95%, 94~106 g이 약 99.7%입니다.
반대로 말하면, 평균에서 \(3\sigma\)보다 멀리 떨어진 값은 1,000번에 3번 정도밖에 나오지 않습니다. 이 성질이 ⑤의 '5σ 발견'으로 이어집니다.
같은 것을 재도 잴 때마다 값이 조금씩 다릅니다. 이렇게 제멋대로 생기는 오차를 무작위 오차라고 합니다. 여러 번 재서 평균하면 + 쪽 오차와 − 쪽 오차가 서로 상쇄됩니다.
N번 재서 평균하면 오차(평균값의 표준편차)는 \(\dfrac{1}{\sqrt{N}}\)로 줄어듭니다. 4번이면 절반, 100번이면 10분의 1입니다. 왜 \(\sqrt{N}\)인지와 잡음 그래프는 거듭제곱과 제곱근 편 ④에서 볼 수 있습니다. 여기서는 "평균값들이 어떻게 퍼지는지"를 막대그래프로 확인해 봅시다.
👉 한 번에 재는 횟수 N을 늘려, 평균값들이 참값 10 둘레로 좁게 모이는지 살펴보세요!
참값은 10이고, 한 번 잴 때의 오차(표준편차)는 1입니다. 실험 한 번 = N번 재서 평균 내기, 이것을 4,000번 되풀이했습니다. 보라 막대 = 평균값이 나온 횟수, 남색 선 = 정규분포 곡선, 파란 띠 = 참값에서 ±1σ·±2σ·±3σ(σ = 1/√N).
N = 1이면 막대가 7~13에 넓게 퍼지지만, N = 4이면 폭이 절반, N = 16이면 4분의 1로 좁아집니다. 어느 N에서든 띠 안의 비율은 68%, 95%, 99.7%에 가깝습니다.
여론조사는 전체 국민 대신 약 1,000명에게만 묻습니다. 누구를 뽑느냐에 따라 결과가 조금씩 달라지는데, 그 흔들림의 크기가 오차범위(표본오차)입니다. 사람 수 n이 많을수록 \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)에 따라 줄어듭니다.
🧮 계산 예시 — 1,000명 조사의 오차범위
상황: 1,000명에게 물었더니 40%가 "찬성"이라고 답했습니다. 실제 전체의 찬성 비율은 어디쯤일까요?
📐 수학 도움말: %p(퍼센트포인트)는 퍼센트끼리의 '차이'입니다. 40%가 43%가 되면 3%p 오른 것입니다(3% 오른 것이 아닙니다). 1.96은 정규분포에서 95%가 들어가는 범위(약 2σ)이고, 0.5 × 0.5는 흔들림이 가장 클 때(50%)를 기준으로 잡은 것입니다.
👉 정리: 두 후보가 41% 대 39%처럼 오차범위 안에서 차이가 나면, 순위를 단정할 수 없는 '접전'입니다.
전파망원경이 받는 잡음은 무작위라서 +와 −로 제멋대로 흔들리고, 평균하면 0으로 다가갑니다. 반면 천체 신호는 일정해서 평균해도 그대로 남습니다. 그래서 오래 모을수록 잡음은 \(\dfrac{1}{\sqrt{N}}\)로 줄고, 숨어 있던 신호가 드러납니다.
신호가 잡음보다 몇 배 큰지를 신호 대 잡음비(S/N, SNR)라고 합니다. 여기서는 "신호 크기 ÷ 잡음의 표준편차 \(\sigma\)"로 씁니다. S/N = 5이면 "5σ 신호"라고 부릅니다. (통신에서는 S/N을 전력의 비로 쓰고 dB로 나타내기도 합니다 — 로그와 데시벨(dB) 편.)
잡음만으로 우연히 \(+3\sigma\)를 넘을 확률은 약 0.13%(약 740번에 1번)입니다. 드물어 보이지만, 영상의 수천 군데를 살펴보면 몇 군데는 잡음만으로도 넘습니다. 그래서 천문학과 입자물리학에서는 5σ를 '발견'의 기준으로 씁니다. 잡음만으로 \(+5\sigma\)를 넘을 확률은 약 \(2.87 \times 10^{-7}\), 즉 약 350만분의 1입니다. 2012년 힉스 입자 발견 발표도 이 기준을 넘은 결과였습니다.
🧮 계산 예시 — 5σ가 되려면 얼마나 오래 관측해야 할까?
상황: 세기가 0.02 K인 약한 천체를 관측합니다. 1초 관측했을 때 잡음 \(\sigma\)는 0.01 K입니다(거듭제곱과 제곱근 편의 수신기 예시와 같은 값).
📐 수학 도움말: 잡음을 k배 줄이려면 시간은 \(k^2\)배가 필요합니다(2배 → 4배, 10배 → 100배). 그래서 S/N은 관측 시간의 제곱근 \(\sqrt{\tau}\)에 비례해 커집니다.
👉 정리: 5σ를 넘으면 "잡음만으로 우연히 이만큼 클 확률은 약 350만분의 1"이라는 뜻입니다. 약한 천체일수록 이 기준을 넘기 위해 오래 관측합니다.
천체 신호는 잡음 위로 솟아오르는 쪽(+)만 따지므로 한쪽 기준을 씁니다. +5σ보다 클 확률은 약 \(2.87 \times 10^{-7}\)(350만분의 1)입니다.
+쪽과 −쪽을 모두 따지는 양쪽 기준이면 확률이 2배인 약 \(5.7 \times 10^{-7}\)(약 174만분의 1)이 됩니다. 같은 '5σ'라도 어느 기준인지에 따라 숫자가 다르니, 자료를 읽을 때 확인해 보세요.
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📚 참고 자료 및 출처
본 교육자료는 Anthropic(Claude) 및 OpenAI(ChatGPT)를 활용하여 제작하였으며, 제작자가 내용을 검토·편집하였습니다. 주요 참고자료와 출처는 각 페이지의 「참고 자료 및 출처」에 명시하였습니다. 출처가 별도로 표기되지 않은 페이지와 참고자료에 포함되지 않은 내용은 제작자가 직접 작성하거나 정리한 것입니다. 내용에 오류가 있거나 수정이 필요한 사항을 발견하시면 kvnsite@kasi.re.kr로 알려 주시기 바랍니다.