수열

전파교실에는 "번호 \(n\)을 넣으면 값이 나오는" 식이 가끔 나옵니다.

\[f_{\text{시작}}(n) = 470 + 6\,(n - 14)\ \text{MHz}, \qquad f_n = 440\ \text{Hz} \times 2^{\,n/12}\]

앞의 식은 TV 방송 송출과 수신 원리 편에서 TV 채널 번호로 주파수를 구하는 식입니다. 뒤의 식은 소리로 보는 주파수와 진폭 편에서 피아노 건반의 음높이를 구하는 식입니다.

두 식 모두 번호가 하나 오를 때마다 값이 규칙적으로 바뀝니다. 앞의 식은 6씩 더하고, 뒤의 식은 같은 비율로 곱합니다. 이렇게 규칙에 따라 늘어선 수를 수열이라고 합니다. 이 페이지에서는 가장 중요한 두 가지, 더하는 수열과 곱하는 수열만 다룹니다.

246 810 +2+2+2+2 등차수열: 같은 수씩 더하기 124 816 ×2×2×2×2 등비수열: 같은 수씩 곱하기

① 수열이란 — 규칙 있는 수의 줄

달력에서 이번 달 수요일 날짜만 골라 적어 봅시다. 3, 10, 17, 24, 31. 7씩 커지는 규칙이 있습니다. 이렇게 규칙에 따라 차례로 늘어놓은 수의 줄이 수열입니다.

  • 줄에 선 수 하나하나를 항이라고 합니다. 3은 첫째 항, 10은 둘째 항입니다.
  • 첫째 항을 \(a_1\), 둘째 항을 \(a_2\), \(n\)번째 항을 \(a_n\)으로 씁니다. "에이 원", "에이 엔"이라고 읽습니다.
  • \(a\) 아래 작은 글씨(첨자)는 번호표입니다. 곱하기가 아닙니다. 수요일 날짜에서 \(a_1 = 3\), \(a_4 = 24\)입니다.

\(n\)에 번호를 넣기만 하면 그 항이 바로 나오는 식을 일반항이라고 합니다. 맨 위의 TV 채널 식이 바로 일반항입니다. 채널 번호 \(n\)만 넣으면 주파수가 나옵니다.

💡 1, 4, 9, 16, 25(제곱수)처럼 규칙은 있지만 더하는 수가 매번 바뀌는 수열도 있습니다. 여기서는 규칙이 가장 단순한 두 가지만 봅니다.

② 등차수열 — 같은 수씩 더하기

앞의 항에 늘 같은 수를 더해 다음 항을 만드는 수열을 등차수열이라고 합니다. "차이가 같은(等差) 수열"이라는 뜻입니다. 더하는 그 수를 공차라 하고 \(d\)로 씁니다(difference의 첫 글자). 수요일 날짜는 \(a_1 = 3\), \(d = 7\)인 등차수열입니다.

\[a_n = a_1 + (n - 1)\,d\]

왜 \(n\)이 아니라 \(n - 1\)일까요? 울타리 기둥을 생각해 보세요. 기둥이 5개면 기둥 사이 칸은 4개입니다. 첫째 항에서 다섯째 항까지 가려면 \(d\)를 4번만 더하면 됩니다. 그래서 \(a_5 = 3 + 4 \times 7 = 31\)입니다.

라디오와 TV 주파수는 등차수열

방송국들이 서로 섞이지 않도록, 방송 주파수는 같은 간격의 칸으로 나뉘어 있습니다. 칸 번호를 따라 주파수를 적으면 등차수열이 됩니다.

방송 주파수 칸은 등차수열
방송첫째 항 \(a_1\)공차 \(d\)수열일반항
FM 라디오88.1 MHz0.2 MHz88.1, 88.3, 88.5, …\(88.1 + 0.2\,(n - 1)\)
AM 라디오531 kHz9 kHz531, 540, 549, …\(531 + 9\,(n - 1)\)
지상파 TV(UHF)470 MHz (14번 채널)6 MHz470, 476, 482, …\(470 + 6\,(n - 14)\)
  • FM — 89.1, 91.9, 93.1 MHz처럼 0.2 MHz 칸에 맞추어 배정됩니다(FM 주파수변조 편). 51번째 칸은 \(88.1 + 50 \times 0.2 = 98.1\) MHz입니다. 이 규칙대로 가면 107.9 MHz가 100번째 칸입니다.
  • AM — 9 kHz 간격입니다(AM 진폭변조 편). 711 kHz는 \(531 + 9 \times 20\)이므로 21번째 칸입니다 (라디오의 송신과 수신원리 편).
  • TV — 번호가 1번이 아니라 14번부터 시작합니다. 그래서 \(n - 1\) 대신 \(n - 14\)를 씁니다. 14번 채널을 넣으면 \(470 + 6 \times 0 = 470\)이 되어 첫째 항이 나옵니다.
  • 소리의 배음 — 남성 목소리의 기본음 120 Hz에는 240, 360, 480 Hz… 배음이 섞여 있습니다(소리로 보는 주파수와 진폭 편). 첫째 항과 공차가 모두 120인 등차수열이라 \(a_n = 120n\)입니다.

🧮 계산 예시 — TV 채널 번호로 주파수 찾기

상황: 우리 동네 지상파 방송이 20번 채널로 나옵니다. TV 튜너는 몇 MHz를 골라 들을까요? 거꾸로 584 MHz는 몇 번 채널일까요?

  1. 20번 채널: \(470 + 6 \times (20 - 14) = 470 + 6 \times 6 = 506\ \text{MHz}\) → 채널 폭이 6 MHz이므로 506 ~ 512 MHz 구간입니다.
  2. 51번 채널: \(470 + 6 \times (51 - 14) = 470 + 222 = 692\ \text{MHz}\) → 692 ~ 698 MHz로, 지상파 UHF 대역(470 ~ 698 MHz)의 맨 위 칸입니다.
  3. 거꾸로 584 MHz: \(584 - 470 = 114\), \(114 \div 6 = 19\)칸 → 14번에서 19칸 올라간 33번 채널입니다.

📐 수학 도움말: 거꾸로 풀 때는 일반항을 \(n\)에 대해 풀면 됩니다. \(n = \dfrac{f - 470}{6} + 14\). 이항(옮기기)은 앞에서 본 방정식과 근의 공식 편과 같습니다.

👉 정리: 채널 번호가 1 오를 때마다 주파수가 6 MHz씩 오르는 등차수열입니다. 14번(470 MHz)부터 51번(692 MHz)까지 38개 채널이 있습니다.

③ 등차수열의 합 — 가우스의 짝짓기

200여 년 전 독일의 한 초등학교에서 선생님이 "1부터 100까지 모두 더해 보라"는 문제를 냈다고 합니다. 모두가 1 + 2 + 3 + …을 차례로 더하는 동안, 어린 가우스는 금세 답 5050을 냈다는 이야기가 전해집니다.

비결은 짝짓기입니다. 맨 앞과 맨 뒤를 짝지으면 \(1 + 100 = 101\), 그다음도 \(2 + 99 = 101\), \(3 + 98 = 101\)…. 짝마다 합이 101로 같습니다. 100개의 수로 짝을 50개 만들 수 있으니 \(50 \times 101 = 5050\)입니다.

12345 한 줄 = 6칸 파랑: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 빨강: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 (같은 수를 거꾸로) 둘을 합치면 직사각형: 5줄 × 6칸 = 30 파랑만 = 30 ÷ 2 = 15

이 방법은 모든 등차수열에 통합니다. 수열을 거꾸로 한 줄 더 써서 짝지으면, 짝마다 합이 늘 "첫째 항 + 끝 항"입니다. 짝이 \(n\)개이고, 같은 수열을 두 번 더했으니 2로 나눕니다.

\[S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} \qquad \text{예: } 1 + 2 + \cdots + 100 = \frac{100 \times (1 + 100)}{2} = 5050\]

\(S_n\)은 "처음 \(n\)개 항의 합"입니다(Sum의 S). 말로 하면 "첫째 항과 끝 항의 평균 × 항의 개수"입니다. 1부터 \(n\)까지의 합은 특히 자주 쓰여서 \(\dfrac{n(n+1)}{2}\)로 외워 두면 편합니다.

💡 "1부터 100까지 모두 더하기"를 짧게 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{100} k\)로 쓰기도 합니다. Σ(시그마)를 읽는 법은 수식 기호 읽기 편에서 다룹니다.

🧮 계산 예시 — 전파망원경 4대로 만드는 기선(망원경 쌍)의 수

상황: KVN 전파망원경 4대(A, B, C, D)로 간섭계 관측을 합니다. 두 대씩 짝지은 쌍(기선)은 몇 개일까요? 망원경이 8대, 16대면요?

  1. 차례로 세기: A는 B, C, D와 3쌍 → B는 (A와는 이미 셌으니) C, D와 2쌍 → C는 D와 1쌍 → \(3 + 2 + 1 = 6\)쌍입니다.
  2. 망원경 \(N\)대면 \(1 + 2 + \cdots + (N - 1)\)입니다. 항이 \(N - 1\)개, 첫째 항 1, 끝 항 \(N - 1\)인 등차수열의 합이므로 \(\dfrac{(N - 1)(1 + N - 1)}{2} = \dfrac{N(N - 1)}{2}\)입니다.
  3. 8대: \(\dfrac{8 \times 7}{2} = 28\)쌍 → 망원경은 2배인데 기선은 약 4.7배로 늘어납니다.
  4. 16대: \(\dfrac{16 \times 15}{2} = 120\)쌍 → 상관기가 짝지어 계산해야 하는 쌍의 수입니다.

📐 수학 도움말: 친구 \(N\)명이 서로 한 번씩 악수하는 횟수와 같은 문제입니다. 1, 3, 6, 10, 15, …처럼 이렇게 쌓이는 수를 삼각수라고 합니다.

👉 정리: 기선의 수는 \(N(N-1)/2\)로 빠르게 늘어납니다(간섭계 원리 편). 기선이 많을수록 영상의 빈틈이 줄어듭니다.

④ 등비수열 — 같은 수씩 곱하기

앞의 항에 늘 같은 수를 곱해 다음 항을 만드는 수열을 등비수열이라고 합니다. "비율이 같은(等比) 수열"이라는 뜻입니다. 곱하는 그 수를 공비라 하고 \(r\)로 씁니다(ratio의 첫 글자).

\[a_n = a_1 \times r^{\,n-1}\]

여기서도 \(n - 1\)입니다. 다섯째 항까지 가려면 \(r\)을 4번 곱하므로 \(r^4\)입니다. 3, 6, 12, 24, 48은 \(a_1 = 3\), \(r = 2\)이고, \(a_5 = 3 \times 2^4 = 48\)입니다. \(r^4\) 같은 거듭제곱 계산은 앞에서 본 거듭제곱과 제곱근 편과 같습니다.

2배씩 — 금방 엄청나게 커진다

종이를 반으로 접을 때마다 두께는 2배가 됩니다. 0.1 mm 종이를 10번 접으면 \(0.1 \times 2^{10} = 102.4\ \text{mm}\), 10 cm가 넘습니다. 등차수열은 일정하게 오르지만, 등비수열(\(r > 1\))은 뒤로 갈수록 훨씬 가파르게 오릅니다.

디지털 신호도 그렇습니다. 비트 1개는 0과 1, 2가지를 나타냅니다. 비트가 하나 늘 때마다 가짓수가 2배가 되어 2, 4, 8, 16, …가지가 됩니다. \(n\)비트면 \(2^n\)가지입니다. 자세한 내용은 2진수와 비트 편에서 다룹니다.

반씩 — 줄어들지만 0이 되지는 않는다

공비가 1보다 작으면 수가 줄어듭니다. \(r = \tfrac{1}{2}\)이면 100, 50, 25, 12.5, …입니다. 아무리 반으로 나누어도 0이 되지는 않습니다.

전파는 케이블을 지나거나 멀리 갈수록 약해집니다. 앞에서 본 로그와 데시벨(dB) 편처럼 3 dB는 약 2배이므로, 3 dB 줄어들 때마다 세기가 약 절반이 됩니다(전기신호 전송 편). 3 dB, 6 dB, 9 dB 줄면 세기는 \(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}\)로, 공비 \(\tfrac{1}{2}\)인 등비수열입니다.

🧮 계산 예시 — 3 dB씩 약해지는 신호

상황: 100 mW 신호가 긴 케이블을 지나는데, 일정한 길이마다 3 dB씩 약해집니다. 3 dB를 4번 잃으면(모두 12 dB) 얼마가 남을까요?

  1. 수열로 쓰기: \(a_1 = 100\), \(r = \tfrac{1}{2}\) → 100, 50, 25, 12.5, 6.25 mW → 다섯째 항이 3 dB를 4번 잃은 뒤입니다.
  2. 일반항으로 바로: \(a_5 = 100 \times \left(\tfrac{1}{2}\right)^{4} = 100 \div 16 = 6.25\ \text{mW}\) → 처음의 16분의 1입니다.
  3. 정확히 계산하면 \(100 \times 10^{-12/10} \approx 6.31\ \text{mW}\) → 3 dB가 정확히 2배가 아니라 약 1.995배라서 조금 다릅니다.

📐 수학 도움말: dB를 더하는 것은 배수를 곱하는 것입니다. "3 dB씩 4번 = 12 dB"이고, "\(\tfrac{1}{2}\)을 4번 곱하기 = \(\tfrac{1}{16}\)"입니다. 등비수열과 dB는 짝꿍입니다.

👉 정리: 약해지는 신호는 공비가 1보다 작은 등비수열입니다. 같은 거리마다 같은 비율로 줄기 때문입니다.

피아노 건반 — 반음마다 \(2^{1/12}\)배

한 옥타브 위의 음은 주파수가 정확히 2배입니다. 피아노는 한 옥타브를 반음 12개로 나누는데, 반음마다 같은 비율로 오르게 만들었습니다. 12번 곱해서 2가 되는 수는 \(2^{1/12} \approx 1.0595\)입니다. 그래서 건반을 따라 주파수를 적으면 공비 1.0595인 등비수열입니다.

라(A4 = 440 Hz)에서 반음씩 올라가기
라에서 반음 수01712
곱하는 수\(1\)\(2^{1/12} \approx 1.0595\)\(2^{7/12} \approx 1.498\)\(2^{12/12} = 2\)
주파수440 Hz (라)약 466.2 Hz (라#)약 659.3 Hz (미)880 Hz (높은 라)

맨 위의 \(f_n = 440 \times 2^{n/12}\)는 바로 이 등비수열의 일반항입니다(소리로 보는 주파수와 진폭 편). 음계가 주파수의 "차이"가 아니라 "비율"로 정해지기 때문에 등차가 아니라 등비수열이 됩니다.

👉 첫째 항과 공차(공비)를 바꾸어, 처음 10항이 어떻게 자라는지 막대로 보세요!

수열 탐험기

예시:

파란 막대 = 등차수열, 보라 막대 = 등비수열, 빨간 막대 = 0보다 작은 항. 등차는 막대 끝이 곧은 계단처럼, 등비는 점점 가파르게(또는 점점 완만하게) 변합니다.

⑤ 끝없이 더해도 끝이 있다? — 등비수열의 합

초콜릿 한 판의 절반을 먹고, 남은 것의 절반을 또 먹고, 또 남은 것의 절반을 먹습니다. 먹은 양은 \(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \cdots\)입니다. 끝없이 계속 먹어도 처음 한 판보다 많이 먹을 수는 없습니다. 더할수록 1에 한없이 가까워집니다.

1/21/41/8 한 변이 1인 정사각형(넓이 1)을 절반, 그 절반, 또 그 절반…으로 칠합니다. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … → 1 칠하지 않은 부분은 계속 절반으로 줄어, 끝없이 칠하면 정사각형을 다 채웁니다.

이 생각으로 \(0.9999\cdots\)도 이해할 수 있습니다. \(0.9999\cdots = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \cdots\)는 첫째 항 0.9, 공비 \(\tfrac{1}{10}\)인 등비수열을 끝없이 더한 것입니다. 9가 끝없이 이어지면 1과의 차이가 0.1, 0.01, 0.001, …로 한없이 작아집니다. 그래서 수학에서는 \(0.9999\cdots = 1\)입니다.

더 알아보기 — 등비수열의 합 공식, 8비트의 가장 큰 값, 튀는 공이 움직인 거리

처음 \(n\)항의 합은 다음과 같습니다(\(r \ne 1\)).

\[S_n = \frac{a_1\,(r^n - 1)}{r - 1}\]

예: \(1 + 2 + 4 + \cdots + 128\)은 \(a_1 = 1\), \(r = 2\), \(n = 8\)이므로 \(\dfrac{2^8 - 1}{2 - 1} = 255\)입니다. 8비트를 모두 1로 채운 11111111이 바로 \(128 + 64 + \cdots + 1 = 255\)입니다(2진수와 비트 편에서 다루는 "가장 큰 값 \(2^n - 1\)").

\(-1 < r < 1\)이면 \(r^n\)이 0에 한없이 가까워지므로, 끝없이 더한 합(무한등비급수)은 다음 값이 됩니다.

\[a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots = \frac{a_1}{1 - r} \qquad \text{예: } \frac{0.9}{1 - 0.1} = \frac{0.9}{0.9} = 1\]

튀는 공: 1 m 높이에서 떨어뜨린 공이 매번 앞 높이의 절반까지 튀어 오릅니다. 처음 1 m를 떨어지고, 그다음부터는 0.5 m, 0.25 m, …를 올라갔다 내려옵니다(2번씩).

\[1 + 2 \times (0.5 + 0.25 + 0.125 + \cdots) = 1 + 2 \times \frac{0.5}{1 - 0.5} = 1 + 2 = 3\ \text{m}\]

공은 끝없이 튀는 것처럼 보이지만, 움직인 거리를 모두 더하면 3 m를 넘지 않습니다. 실제 공은 튈 때마다 소리와 열로 에너지를 잃어 곧 멈춥니다.

✏️ 스스로 풀어 보기

  1. FM 방송 칸을 88.1 MHz부터 0.2 MHz씩 번호를 매기면, 95.9 MHz는 몇 번째 칸일까요?
    정답 보기 \(88.1 + 0.2\,(n - 1) = 95.9\)에서 \(0.2\,(n - 1) = 7.8\), \(n - 1 = 39\)이므로 40번째 칸입니다.
  2. 괘종시계가 1시에 1번, 2시에 2번, …, 12시에 12번 종을 칩니다. 하루(24시간) 동안 종은 모두 몇 번 울릴까요?
    정답 보기 12시간 동안 \(1 + 2 + \cdots + 12 = \dfrac{12 \times (1 + 12)}{2} = 78\)번입니다. 하루에 두 바퀴 돌므로 \(78 \times 2 = 156\)번입니다.
  3. 신호가 3 dB 줄 때마다 세기가 절반이 된다고 어림합시다. 30 dB 줄면 처음의 몇 분의 1쯤 될까요?
    정답 보기 30 dB는 3 dB가 10번입니다. \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10} = \tfrac{1}{1024}\)이므로 약 1000분의 1입니다. 실제로 30 dB는 정확히 1000분의 1(10 dB가 3번 = \(10^{-3}\))이니, 어림이 잘 맞습니다. \(2^{10} = 1024 \approx 1000\)인 덕분입니다.

🔗 이 수학이 쓰이는 곳

📋 공식 카드

등차수열의 일반항

\[a_n = a_1 + (n - 1)\,d\]

뜻: 첫째 항에 공차 \(d\)를 \(n - 1\)번 더하면 \(n\)번째 항입니다.

쉬운 예: 2, 5, 8, 11, … → \(a_{10} = 2 + 9 \times 3 = 29\)

활용: FM 0.2 MHz 칸, AM 9 kHz 칸, TV 채널 6 MHz 칸, 배음 \(120n\) Hz

등차수열의 합

\[S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}\]

뜻: (첫째 항과 끝 항의 평균) × (항의 개수)입니다.

쉬운 예: \(1 + 2 + \cdots + 100 = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5050\)

활용: 계단식 좌석 수, 괘종시계 종소리 횟수

1부터 \(n\)까지의 합(삼각수)

\[\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n\,(n + 1)}{2}\]

뜻: 등차수열의 합에서 \(a_1 = 1\), \(a_n = n\)인 경우입니다.

쉬운 예: \(1 + 2 + 3 + 4 = \dfrac{4 \times 5}{2} = 10\)

활용: 망원경 \(N\)대의 기선 수 \(\dfrac{N(N-1)}{2}\), 악수 횟수

등비수열의 일반항

\[a_n = a_1 \times r^{\,n-1}\]

뜻: 첫째 항에 공비 \(r\)을 \(n - 1\)번 곱하면 \(n\)번째 항입니다.

쉬운 예: 3, 6, 12, 24, … → \(a_6 = 3 \times 2^5 = 96\)

활용: 비트 수와 가짓수 \(2^n\), 3 dB마다 절반, 반음마다 \(2^{1/12}\)배

등비수열의 합

\[S_n = \frac{a_1\,(r^n - 1)}{r - 1} \quad (r \ne 1)\]

뜻: 같은 비율로 커지거나 작아지는 수 \(n\)개의 합입니다.

쉬운 예: \(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = \dfrac{2^6 - 1}{2 - 1} = 63\)

활용: 8비트의 가장 큰 값 \(1 + 2 + \cdots + 128 = 255\)

무한등비급수

\[a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots = \frac{a_1}{1 - r} \quad (-1 < r < 1)\]

뜻: 공비가 1보다 작으면 끝없이 더해도 일정한 값에 다가갑니다.

쉬운 예: \(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \cdots = \dfrac{1/2}{1 - 1/2} = 1\), \(0.9999\cdots = 1\)

활용: 튀는 공이 움직인 거리의 합(1 m에서 떨어뜨려 절반씩 튀면 3 m)

핵심 정리

  • 수열은 규칙에 따라 늘어선 수의 줄입니다. \(a_n\)은 "\(n\)번째 항"이고, 아래 첨자는 번호표입니다.
  • 등차수열은 같은 수(공차 \(d\))씩 더합니다: \(a_n = a_1 + (n - 1)d\). FM(0.2 MHz), AM(9 kHz), TV(6 MHz) 방송 주파수 칸이 등차수열입니다.
  • 등차수열의 합은 "첫째 항과 끝 항의 평균 × 개수": \(S_n = n(a_1 + a_n)/2\). 1부터 100까지는 5050, 망원경 \(N\)대의 기선 수는 \(N(N-1)/2\)입니다.
  • 등비수열은 같은 수(공비 \(r\))씩 곱합니다: \(a_n = a_1 r^{n-1}\). 비트 수에 따른 가짓수(2배씩), 3 dB마다 절반, 반음마다 \(2^{1/12}\)배가 등비수열입니다.
  • 공비가 1보다 작으면 끝없이 더해도 일정한 값에 다가갑니다: \(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \cdots = 1\), \(0.9999\cdots = 1\).

🧑‍🏫 선생님·학부모님을 위한 설명 도움말

자주 하는 오해

  • "\(n\)번째 항은 \(a_1 + n\,d\)이다" — 첫째 항에는 아직 아무것도 더하지 않았습니다. 기둥 5개 사이의 칸은 4개라는 "울타리 기둥" 그림으로 \(n - 1\)을 확인해 주세요.
  • "\(a_3\)은 \(a \times 3\)이다" — 아래 첨자는 곱하기가 아니라 번호표입니다. 교실 출석 번호와 같습니다.
  • "반씩 계속 줄이면 언젠가 0이 된다" — 아무리 작아져도 0보다 큽니다. 대신 끝없이 더한 합은 일정한 값에 다가갑니다.
  • "\(0.9999\cdots\)는 1보다 아주 조금 작다" — 9가 끝없이 이어지면 1과 같은 수입니다. \(\tfrac{1}{3} = 0.333\cdots\)에 3을 곱하면 \(1 = 0.999\cdots\)라는 설명도 도움이 됩니다.
  • "2배씩 늘어나는 것과 2씩 늘어나는 것은 비슷하다" — 10번째 항만 봐도 2, 4, 6, …은 20이지만 2, 4, 8, …은 1024입니다. 체스판 칸마다 쌀알을 2배씩 놓는 이야기가 좋습니다.
  • "3 dB는 정확히 절반이다" — 정확히는 약 0.501배입니다. 어림으로는 충분하지만, 3 dB를 여러 번 겹치면 조금씩 차이가 납니다(12 dB: 6.25 % 대 6.31 %).

비유로 설명하기

  • 등차수열은 "매달 같은 금액을 저금하는 저금통", 등비수열은 "한 마리가 둘로 나뉘는 세포 분열"입니다.
  • 방송 주파수 칸은 "같은 간격으로 칠한 주차장 칸"입니다. 칸 번호만 알면 위치(주파수)를 바로 계산할 수 있습니다.
  • 가우스의 짝짓기는 "계단 모양 블록을 하나 더 거꾸로 붙여 직사각형 만들기"로 보여 주면 쉽습니다.

함께 해 볼 질문·활동

  • 라디오 다이얼을 돌려 잡히는 FM 방송 주파수를 적고, 모두 88.1 + 0.2 × (어떤 수)로 나타나는지 확인하기.
  • 종이를 몇 번까지 반으로 접을 수 있는지 해 보고, 접을 때마다 두께(겹 수)가 1, 2, 4, 8, …로 늘어나는 것을 세어 보기.
  • 공을 1 m 높이에서 떨어뜨려 튀어 오르는 높이를 몇 번 재고, 매번 앞 높이의 몇 배인지(공비) 계산해 보기.
  • 친구 몇 명이 서로 한 번씩 악수하며 횟수를 세고, \(N(N-1)/2\)와 비교하기. 같은 식이 전파망원경 기선 수라는 것도 이야기해 보기.

📚 참고 자료 및 출처

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