앞의 것은 "접시 지름 \(D\)가 2배면 모으는 전파는 4배"라는 안테나(반사경) 편의 이야기입니다.
뒤의 것은 관측영상 편에서 블랙홀 주변 영상의 실제 크기를 구할 때 씁니다.
이 페이지에서는 꼭 필요한 도형 공식 네 가지만 봅니다. 직각삼각형(피타고라스 정리), 원의 둘레, 원의 넓이, 부채꼴과 작은 각도입니다.
① 피타고라스 정리 \(a^2 + b^2 = c^2\) — 직각삼각형의 세 변
한 각이 90°(직각)인 삼각형을 직각삼각형이라고 합니다. 직각을 낀 두 변을 \(a\), \(b\), 직각과 마주 보는 가장 긴 변(빗변)을 \(c\)라고 합시다.
\[a^2 + b^2 = c^2\]
"두 짧은 변으로 만든 정사각형 넓이를 더하면, 빗변으로 만든 정사각형 넓이와 같다"는 뜻입니다.
가장 유명한 예는 3, 4, 5입니다. \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)입니다.
그림으로 보는 증명 — 같은 상자, 다른 배치
두 상자는 크기가 같고, 안에 넣은 파란 직각삼각형 4개도 똑같습니다. 그러니 빈자리의 넓이도 같아야 합니다.
왼쪽 빈자리는 \(c^2\) 하나, 오른쪽 빈자리는 \(a^2\)와 \(b^2\) 두 개입니다. 계산 없이 그림만으로 \(a^2 + b^2 = c^2\)이 보입니다.
빗변을 구할 때는 거꾸로 제곱근을 씌웁니다. \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)입니다(\(\sqrt{\ }\)는 앞에서 본 거듭제곱과 제곱근 편).
👉 두 변의 길이를 바꾸며, 세 정사각형의 넓이를 견주어 보세요!
작은 칸 하나가 넓이 1입니다. 빨간 칸과 초록 칸을 모두 세면 보라 칸의 수와 같습니다.
🧮 계산 예시 — 55인치 TV의 가로와 세로
상황: TV의 '55인치'는 화면 대각선 길이입니다(1인치 = 2.54 cm). 화면 가로:세로가 16:9라면 가로와 세로는 몇 cm일까요?
가로 16, 세로 9인 직각삼각형의 빗변: \(\sqrt{16^2 + 9^2} = \sqrt{256 + 81} = \sqrt{337} \approx 18.36\) → 대각선은 '가로 16칸'의 약 1.15배입니다.
실제 대각선 55인치는 이것의 \(55 \div 18.36 \approx 3.0\)배입니다. 그래서 한 칸 ≈ 3.0인치입니다.
📐 수학 도움말: 모양이 같은 삼각형은 세 변이 모두 같은 배수로 커집니다. 16:9:18.36의 비율을 지키며 키운 것입니다(분수·비율·비례 편).
👉 정리: 55인치 TV의 화면은 가로 약 122 cm, 세로 약 68 cm입니다. '인치'는 가로가 아니라 대각선 길이라는 것을 기억하세요.
피타고라스 정리는 "직선으로 얼마나 먼가"를 구할 때 늘 씁니다. 높이 8 m 안테나 기둥을 바닥에서 6 m 떨어진 곳에 줄로 고정하면, 줄의 길이는 \(\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\ \text{m}\)입니다.
더 알아보기 — 지도 위 두 점 사이의 거리
지도에 가로(동서)·세로(남북) 눈금을 그리고, 위치를 \((x, y)\)로 적는 것을 좌표라고 합니다.
두 점 사이의 가로 차이와 세로 차이가 직각삼각형의 두 변이 되므로 거리는 이렇게 구합니다.
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
예: 학교가 \((0, 0)\), 도서관이 동쪽 6 km, 북쪽 8 km인 \((6, 8)\)에 있으면 \(d = \sqrt{36 + 64} = 10\ \text{km}\)입니다.
휴대전화 지도 앱이나 게임이 "두 점 사이 직선거리"를 잴 때 이 식을 씁니다(지구가 둥근 것까지 따지는 먼 거리는 더 복잡한 식을 씁니다).
\(x_1\), \(x_2\)의 작은 숫자는 '첫째 점, 둘째 점'이라는 이름표입니다(수식 기호 읽기 편).
② 원의 둘레 \(l = 2\pi r\) — \(\pi\)는 "지름의 약 3.14배"
원의 가운데(중심)에서 테두리까지 거리가 반지름 \(r\), 반지름의 2배가 지름 \(D = 2r\)입니다.
동전이든 접시든 지구든, 모든 원은 둘레가 지름의 약 3.14배입니다. 이 수를 그리스 문자 \(\pi\)(파이)로 씁니다.
\(\pi = 3.14159\ldots\)로 끝없이 이어지는 수라서, 보통은 \(\pi \approx 3.14\)로 어림합니다.
\[l = \pi D = 2\pi r\]
바퀴 한 바퀴: 지름 70 cm 자전거 바퀴가 한 바퀴 구르면 \(\pi \times 70 \approx 220\ \text{cm}\), 약 2.2 m 나아갑니다.
지구 둘레: 지구 반지름은 약 6,371 km라서 \(2\pi \times 6{,}371 \approx 40{,}000\ \text{km}\), 약 4만 km입니다.
전파는 1초에 30만 km를 가니, 1초에 지구를 \(300{,}000 \div 40{,}000 = 7.5\)바퀴 돕니다(전파는 어떻게 만들어질까? 편).
KVN 접시 테두리: 지름 21 m 접시의 테두리는 \(\pi \times 21 \approx 66\ \text{m}\)입니다.
💡 식에 \(2\pi\)가 보이면 "원 한 바퀴"라고 읽으면 됩니다. 각도에서도 한 바퀴를 \(2\pi\) 라디안이라고 하는데, 반지름 1인 원의 둘레가 \(2\pi\)이기 때문입니다(삼각함수와 파동 편).
③ 원의 넓이 \(S = \pi r^2\) — 지름 2배면 넓이 4배
피자를 아주 잘게 자른 뒤, 조각을 위아래로 엇갈려 늘어놓으면 거의 직사각형이 됩니다.
직사각형의 가로는 원 둘레의 절반(\(\pi r\)), 세로는 반지름(\(r\))입니다. 조각을 잘게 자를수록 더 반듯한 직사각형이 되므로, 원의 넓이는
\[S = \pi r \times r = \pi r^2 \qquad \left(= \frac{\pi D^2}{4}\right)\]
넓이 식에는 \(r\)이 두 번(제곱) 들어 있습니다. 그래서 지름이 2배면 넓이는 \(2^2 = 4\)배, 3배면 9배입니다.
피자 고르기: 지름 40 cm 피자 한 판(\(\pi \times 20^2 \approx 1{,}257\ \text{cm}^2\))은 지름 20 cm 피자 두 판(\(2 \times \pi \times 10^2 \approx 628\ \text{cm}^2\))의 2배입니다. 지름은 2배인데 넓이는 4배이기 때문입니다.
전파망원경: 접시가 전파를 모으는 양은 넓이에 비례합니다. 지름이 2배인 접시는 전파를 4배 모읍니다(안테나(반사경) 편).
🧮 계산 예시 — KVN 21 m 접시의 넓이
상황: KVN 전파망원경의 접시 지름은 21 m입니다. 하늘을 향해 펼친 넓이는 얼마일까요? 지름이 2배인 42 m 접시와도 견주어 봅시다.
반지름: \(r = 21 \div 2 = 10.5\ \text{m}\) → 공식에는 지름이 아니라 반지름을 넣습니다.
지름 42 m 접시: \(S = \pi \times 21^2 \approx 1{,}385\ \text{m}^2\) → \(1{,}385 \div 346 = 4\)배입니다.
📐 수학 도움말: 반지름을 2배 하면 \(\pi (2r)^2 = \pi \times 4r^2\)이라서 넓이는 정확히 4배가 됩니다. \(\pi\) 값을 몰라도 "몇 배"는 알 수 있습니다.
👉 정리: KVN 접시 하나의 넓이는 약 346 m²입니다. 접시 지름을 2배로 하면 같은 시간에 전파를 4배 모읍니다.
👉 반지름을 바꾸고, 지름을 2배로 키워 넓이가 어떻게 변하는지 보세요!
더 알아보기 — 공의 겉넓이 \(4\pi r^2\)와 전파가 약해지는 까닭
공(구)의 겉넓이는 같은 반지름인 원 넓이의 정확히 4배입니다.
\[\text{구의 겉넓이} = 4\pi r^2\]
안테나에서 나온 전파는 공 모양으로 퍼집니다. 거리 \(r\)에서 전파는 겉넓이 \(4\pi r^2\)인 공 껍질 전체에 고르게 나뉩니다.
거리가 2배면 겉넓이는 4배라서, 1 m²에 닿는 세기는 \(\tfrac{1}{4}\)이 됩니다. 이것이 앞에서 본 역제곱 관계입니다(분수·비율·비례 편, 진폭 편).
예: 1 W를 사방으로 고르게 내보내면 1 km 떨어진 곳에서는 \(1 \div (4\pi \times 1{,}000^2) \approx 8 \times 10^{-8}\ \text{W}\)가 1 m²에 닿습니다.
④ 부채꼴과 작은 각도 — 호의 길이 = 반지름 × 각도
피자 한 조각처럼 원에서 잘라 낸 모양을 부채꼴이라고 합니다. 부채꼴 테두리의 굽은 부분을 호라고 합니다.
각도를 라디안(rad)으로 재면 호의 길이는 아주 간단합니다. 라디안은 "반지름 몇 개만큼 돌았나"를 세는 각도 단위입니다(한 바퀴 = \(2\pi\) rad ≈ 6.28 rad, 1 rad ≈ 57.3°).
자세한 뜻은 삼각함수와 파동 편에서 다룹니다.
\[\text{호의 길이} = r \times \theta \qquad (\theta\text{는 라디안})\]
예: 지름 40 cm 피자(반지름 20 cm)를 똑같이 8조각 내면 한 조각의 각도는 \(2\pi \div 8 \approx 0.785\) rad입니다.
한 조각 테두리의 길이는 \(20 \times 0.785 \approx 15.7\ \text{cm}\)입니다. 둘레 \(2\pi \times 20 \approx 125.7\ \text{cm}\)를 8로 나눈 값과 같습니다.
각도가 아주 작으면 호와 곧은 선이 거의 같아집니다. 그래서 멀리 있는 물체의 크기는 "거리 × 각도(라디안)"로 어림할 수 있습니다.
천문학자가 별이나 은하의 크기를 재는 방법입니다(관측영상 편).
🧮 계산 예시 — 각도로 달의 지름 재기
상황: 보름달은 약 0.5°의 각도로 보입니다. 달까지 거리는 약 384,400 km입니다. 달의 지름은 얼마일까요?
지름 ≈ 거리 × 각도: \(384{,}400 \times 0.0087 \approx 3{,}340\ \text{km}\) → 실제 지름(약 3,475 km)과 거의 같습니다.
전파망원경으로: KVN 21 m 접시가 22 GHz에서 구별하는 각도는 약 0.00065 rad입니다(주파수 편). 달 표면에서는 \(384{,}400 \times 0.000\,65 \approx 250\ \text{km}\) 폭을 한 점으로 봅니다.
📐 수학 도움말: 보름달의 실제 각도는 0.5°보다 조금 큰 약 0.52°입니다. 각도를 어림한 만큼 답도 조금 작게 나왔습니다.
👉 정리: 거리와 보이는 각도만 알면, 가 보지 않고도 크기를 잴 수 있습니다.
✏️ 스스로 풀어 보기
직각을 낀 두 변이 5 cm, 12 cm인 직각삼각형의 빗변은 몇 cm일까요?
정답 보기
\(c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \text{cm}\)입니다.
KVN 접시(지름 21 m)는 TRAO 접시(지름 13.7 m)보다 전파를 몇 배 모을까요?
정답 보기
모으는 양은 넓이, 곧 지름의 제곱에 비례합니다. \((21 \div 13.7)^2 \approx 1.53^2 \approx 2.35\)배입니다.
넓이로 계산해도 \(346 \div 147 \approx 2.35\)배입니다(\(\pi \times 6.85^2 \approx 147\ \text{m}^2\)).
해도 달처럼 약 0.5°로 보입니다. 해까지 거리가 약 1억 5천만 km라면 해의 지름은 대략 얼마일까요?
정답 보기
\(150{,}000{,}000 \times 0.0087 \approx 1{,}300{,}000\ \text{km}\), 약 130만 km입니다(실제 약 139만 km).
해와 달이 하늘에서 거의 같은 크기로 보이는 까닭은 해가 달보다 약 400배 크고, 약 400배 멀리 있기 때문입니다.
본 교육자료는 Anthropic(Claude) 및 OpenAI(ChatGPT)를 활용하여 제작하였으며, 제작자가 내용을 검토·편집하였습니다. 주요 참고자료와 출처는 각 페이지의 「참고 자료 및 출처」에 명시하였습니다. 출처가 별도로 표기되지 않은 페이지와 참고자료에 포함되지 않은 내용은 제작자가 직접 작성하거나 정리한 것입니다. 내용에 오류가 있거나 수정이 필요한 사항을 발견하시면 kvnsite@kasi.re.kr로 알려 주시기 바랍니다.