로그와 데시벨(dB)

전파교실에는 "30 dB", "−90 dBm", "\(\log_2\)" 같은 기호가 자주 나옵니다. 진폭 편에는 이런 식도 있습니다.

왜 이런 수학이 필요할까요? 전파의 세기는 범위가 엄청나게 넓기 때문입니다. 휴대전화가 내보내는 전파와 기지국이 받는 전파는 1억 배 넘게 차이 납니다.

이렇게 0이 줄줄이 붙는 수는 "10을 몇 번 곱했나"만 세면 다루기 쉽습니다. 이것이 로그이고, 로그로 세기를 비교한 것이 데시벨(dB)입니다.

10의 거듭제곱(\(10^3 = 1000\))이 낯설다면 큰 수·작은 수와 단위와 거듭제곱과 제곱근 편을 먼저 보세요.

① 로그 — "10을 몇 번 곱했나?"

\(10 \times 10 \times 10 = 1000\)입니다. 10을 3번 곱했습니다. 로그는 이 '3'을 묻는 계산입니다.

"1000은 10을 몇 번 곱한 수인가?"라고 읽으면 됩니다. \(\log\) 아래의 작은 10은 '무엇을 곱하는지'를 알려 줍니다.

쉽게 말하면 1 뒤에 붙은 0의 개수입니다. 1000은 0이 3개라서 3입니다.

1보다 작은 수는 음수가 됩니다. 0.01은 '10으로 2번 나눈 수'라서 −2입니다.

곱셈이 덧셈으로 바뀝니다

\(100 \times 1000 = 100{,}000\)입니다. 0의 개수는 2개 + 3개 = 5개입니다. 곱하면 로그끼리는 더해집니다. dB 계산이 쉬운 이유가 바로 이것입니다.

\(\log_2\) — "2를 몇 번 곱했나?"

밑이 2이면 2를 몇 번 곱했는지 묻습니다. 종이를 3번 접으면 8겹이므로 \(\log_2 8 = 3\)입니다.

디지털 통신에서 많이 씁니다. 64가지 모양을 구별하려면 \(\log_2 64 = 6\)비트가 필요합니다 (디지털 통신, 2진수와 비트 편).

더 알아보기 — 왜 \(\log_{10} 2\)는 약 0.3일까?

\(2^{10} = 1024\)는 \(1000 = 10^3\)과 거의 같습니다. 2를 10번 곱한 것이 10을 3번 곱한 것과 비슷하므로, 2 한 번은 10의 약 0.3번입니다(정확히 약 0.301).

나눗셈은 뺄셈이 됩니다. \(\log_{10}\frac{a}{b} = \log_{10} a - \log_{10} b\). 예: \(\log_{10} 5 = \log_{10}\frac{10}{2} \approx 1 - 0.3 = 0.7\).

② 데시벨(dB) — 세기를 "몇 배인가"로 재기

데시벨은 두 세기를 비교해 몇 배인지를 로그로 나타낸 값입니다.

\(P\)는 잰 세기(전력), \(P_0\)는 비교 기준입니다. 앞의 10은 '데시(10분의 1)'에서 왔습니다.

10 dB 계단 하나를 오를 때마다 세기가 10배가 됩니다. 20 dB는 100배, 30 dB는 1000배입니다.

• 0 dB는 "기준과 같다"는 뜻입니다. "없다"가 아닙니다.
• 3 dB ≈ 2배입니다. \(10 \times 0.3 = 3\)이기 때문입니다.
• 음수 dB는 기준보다 약하다는 뜻입니다. −10 dB는 10분의 1입니다.

③ 진폭으로 잴 때는 20 log

세기는 진폭의 제곱에 비례합니다. 진폭이 2배면 세기는 \(2 \times 2 = 4\)배입니다.

그래서 진폭(전압, 음압)을 비교할 때는 10 대신 20을 곱합니다.

같은 상황이면 dB 값은 하나입니다. 진폭 2배 = 세기 4배 = 약 6 dB입니다.

소리 크기(dB)는 음압, 즉 진폭으로 재므로 20을 씁니다(소리로 보는 주파수와 진폭 편).

더 알아보기 — 10이 왜 20으로 바뀔까?

\(P/P_0 = (A/A_0)^2\)이고, 제곱의 로그는 로그의 2배입니다(\(\log x^2 = \log x + \log x\)). 그래서 \(10 \log_{10}(A/A_0)^2 = 20 \log_{10}(A/A_0)\)입니다. 같은 이유로 +3 dB는 진폭으로는 약 1.41배(\(\sqrt{2}\))입니다.

④ dBm — 기준을 1 mW로 정한 dB

dB는 '몇 배인가'만 말합니다. "30 dB"만으로는 얼마나 센지 알 수 없습니다.

그래서 기준을 정해 둡니다. dBm은 기준이 1 mW(1000분의 1 와트)입니다.

• 0 dBm = 1 mW
• +30 dBm = 1000 mW = 1 W
• −90 dBm = 1 mW의 \(10^{9}\) 분의 1 = 1조 분의 1 W

S/N(신호 대 잡음비)도 같은 생각입니다. 기준이 잡음입니다. S/N 20 dB는 신호가 잡음보다 100배 세다는 뜻입니다.

🎛️ 직접 바꿔 보기 — dB ↔ 배수 계산기

👉 어느 칸에 숫자를 넣어도 다른 칸이 바로 바뀝니다!

예로 든 세기는 어림값입니다. 실제 Wi-Fi·휴대전화 세기는 기기와 장소에 따라 다릅니다.

⑤ dB 더하기 = 배수 곱하기

전파는 케이블, 안테나, 공기, 증폭기를 지나며 여러 번 커지고 작아집니다.

배수로 계산하면 곱셈이 길어집니다. dB로 바꾸면 더하고 빼기만 하면 됩니다.

⑥ 섀넌 공식 읽기

진폭, 반송파, 디지털 통신 편에 나오는 식입니다. 1초에 보낼 수 있는 최대 비트 수 \(C\)를 알려 줍니다.

\(B\)는 쓸 수 있는 주파수 폭(Hz)입니다. 안쪽부터 차례로 읽습니다. 예: \(B\) = 20 MHz, S/N = 30 dB.

1. dB를 배수로 — 식에는 dB가 아니라 배수를 넣습니다. 30 dB → 1000.
2. 1 더하기 — \(1 + 1000 = 1001\).
3. \(\log_2\) — \(2^{10} = 1024\)이므로 약 10(정확히 9.97). 1 Hz마다 1초에 약 10비트라는 뜻입니다.
4. \(B\) 곱하기 — \(20{,}000{,}000 \times 9.97 \approx 199{,}000{,}000\) → 약 200 Mbps.

더 알아보기 — 신호를 2배로 키우면 속도도 2배가 될까?

아닙니다. S/N을 3 dB(2배) 올리면 \(\log_2 2001 \approx 10.97\)로 1만 늘어납니다. 2를 한 번 더 곱한 셈이기 때문입니다. 그래서 속도는 \(20 \times 10^6 \times 10.97 \approx 219\) Mbps로 약 20 Mbps(10 %)만 늘어납니다.

전파천문학에서는 신호가 잡음보다 훨씬 약한 경우가 흔합니다. 밝기 1 Jy(잰스키)인 천체를 KVN 21 m 망원경으로 보면 천체 신호는 잡음의 대략 1000분의 1(약 −30 dB, 어림값)입니다. 그래도 오래 모아 평균하면 잡음 위로 떠오릅니다 (거듭제곱과 제곱근 편의 \(\sqrt{N}\) 참고).

✏️ 스스로 풀어 보기

1. 세기가 10,000배가 되면 몇 dB일까요? 진폭이 10,000배가 되면요?
   정답 보기

   세기: \(10{,}000\)은 0이 4개이므로 \(10 \times 4 = 40\) dB. 진폭: \(20 \times 4 = 80\) dB.
2. 33 dBm은 몇 W일까요? (힌트: 33 = 30 + 3)
   정답 보기

   +30 dBm = 1 W이고 +3 dB ≈ 2배이므로 \(1\ \text{W} \times 2 = 2\ \text{W}\)입니다(정확히 약 1.995 W).
3. 주파수 폭 1 MHz, S/N 20 dB인 통신의 섀넌 한계는 약 몇 Mbps일까요?
   정답 보기

   20 dB → 100배. \(\log_2 101\)은 \(2^6 = 64\)와 \(2^7 = 128\) 사이라 약 6.7입니다. \(C \approx 1{,}000{,}000 \times 6.7 \approx 6.7\ \text{Mbps}\).

🔗 이 수학이 쓰이는 곳

• 진폭 — \(\text{dB} = 10\log_{10}(P/P_0) = 20\log_{10}(A/A_0)\), dBm, 섀넌 공식 \(C = B\log_2(1 + S/N)\)
• 소리로 보는 주파수와 진폭 — 음압 레벨 \(L = 20\log_{10}(p/p_0)\), \(p = p_0 \times 10^{L/20}\)
• 반송파 — 섀넌 공식과 \(\log_2 1001 \approx 9.97\)
• 디지털 통신 — 심볼당 비트 수 \(\log_2 M\), S/N(dB) \(= 10\log_{10}(\text{신호}/\text{잡음})\), 섀넌 공식
• 디지털변환 ADC — 비트 1개마다 S/N 약 6 dB(\(10\log_{10}4 \approx 6.02\)), CD의 S/N 약 98 dB
• 라디오의 송신과 수신원리 — 이웃 방송이 전력 1/4(약 −6 dB), 1/300(약 −25 dB)로 줄어드는 계산
• TV 방송 송출과 수신 원리 — 신호 대 잡음비(10 dB = 전력 10배)
• 광통신 — 1 km당 약 0.2 dB 손실, 100 km에서 20 dB(100분의 1)
• 전파 차폐(RFI Shielding) — 차폐 성능 100 dB = 세기 100억 분의 1
• 안테나(반사경), 피드 혼(Feed Horn) — dB 눈금의 방사 패턴, 가장자리 약 −10 dB 테이퍼
• 축전기·코일과 교류의 만남 — 리액턴스-주파수 그래프의 로그 눈금(\(X_L\), \(X_C\)가 직선으로 보임)

본 교육자료는 Anthropic(Claude) 및 OpenAI(ChatGPT)를 활용하여 제작하였으며, 제작자가 내용을 검토·편집하였습니다. 주요 참고자료와 출처는 각 페이지의 「참고 자료 및 출처」에 명시하였습니다. 출처가 별도로 표기되지 않은 페이지와 참고자료에 포함되지 않은 내용은 제작자가 직접 작성하거나 정리한 것입니다. 내용에 오류가 있거나 수정이 필요한 사항을 발견하시면 kvnsite@kasi.re.kr로 알려 주시기 바랍니다.