🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 낮은 도와 높은 도의 주기

상황: 피아노의 가운데 '도'(C4)를 치고, 이어서 한 옥타브 위의 '도'(C5)를 친다고 해 봅시다. 가운데 도는 기준음 '라'(440 Hz)보다 건반 9개만큼(9반음) 낮으므로 \(n = -9\)입니다.

1. 주파수: \(f_{\text{도4}} = 440 \times 2^{-9/12} = 440 \times 0.5946 \approx 261.6\ \text{Hz}\) → 가운데 도를 치면 피아노 줄이 1초에 약 262번 떨린다는 뜻입니다.
2. 주기: \(T_{\text{도4}} = \dfrac{1}{261.6\ \text{Hz}} \approx 0.003\,82\ \text{s} = 3.82\ \text{ms}\) → 한 번 떨리는 데 1000분의 4초쯤 걸린다는 뜻입니다.
3. 한 옥타브 위: \(f_{\text{도5}} = 2 \times 261.63 \approx 523.3\ \text{Hz}\), \(T_{\text{도5}} = \dfrac{1}{523.3\ \text{Hz}} \approx 1.91\ \text{ms}\) → 주파수가 2배가 되면 주기는 절반(3.82 ms → 1.91 ms)이 됩니다.
4. 20 ms 동안 떨리는 횟수: 낮은 도 \(261.6 \times 0.02 \approx 5.2\)번, 높은 도 \(523.3 \times 0.02 \approx 10.5\)번 → 위 실험의 '낮은 도 ↔ 높은 도' 그래프에서 물결 개수를 세어 확인해 보세요.

📐 수학 도움말: \(T = 1/f\)는 '1초를 \(f\)조각으로 나눈 한 조각'이라는 뜻입니다(1초에 2번 떨리면 한 번에 0.5초). 서로를 뒤집은 수를 역수라고 합니다. \(2^{n/12}\)에서 \(2^{12/12} = 2\)는 한 옥타브(2배), \(2^{1/12} \approx 1.0595\)는 반음 하나(약 6 % 높음)입니다. 예: 라(440 Hz) 바로 위의 라#은 \(440 \times 1.0595 \approx 466.2\) Hz입니다. 지수가 음수이면 곱하는 대신 나눕니다(\(2^{-9/12} = 1 \div 2^{9/12} \approx 1 \div 1.68 \approx 0.5946\)).
📘 기초 수학 참고: 분수·비율·비례 · 거듭제곱과 제곱근

👉 정리: 한 옥타브 높은 음은 주파수가 2배, 주기는 절반입니다. 음계는 주파수의 '차이'가 아니라 '비율'로 정해집니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 속삭임과 대화의 진폭 비교

상황: 도서관에서 친구가 속삭이는 소리(30 dB)와 교실에서 보통 목소리로 나누는 대화(60 dB)를 비교해 봅시다.

1. 대화의 음압: \(p_{\text{대화}} = 20\ \mu\text{Pa} \times 10^{60/20} = 20\ \mu\text{Pa} \times 1000 = 0.02\ \text{Pa}\) → 귀에 겨우 들리는 소리보다 공기 압력이 1000배 크게 흔들린다는 뜻입니다.
2. 속삭임의 음압: \(p_{\text{속삭임}} = 20\ \mu\text{Pa} \times 10^{30/20} = 20\ \mu\text{Pa} \times 31.6 \approx 0.000\,63\ \text{Pa}\) → 겨우 들리는 소리의 약 32배입니다.
3. 둘을 비교합니다. 차이는 60 − 30 = 30 dB이므로
   \[\frac{p_{\text{대화}}}{p_{\text{속삭임}}} = 10^{30/20} \approx 31.6\ \text{배 (진폭)}, \qquad \left(31.6\right)^2 \approx 10^{30/10} = 1000\ \text{배 (세기)}\]
   → 대화는 속삭임보다 공기를 약 32배 크게 흔들고, 귀에 전달되는 에너지(세기)는 1000배입니다.
4. 대화의 음압 0.02 Pa를 대기압(약 101,325 Pa)과 비교하면 약 500만 분의 1 → 귀는 이렇게 작은 압력 변화도 알아차리는 아주 예민한 센서입니다.

📐 수학 도움말: 소리의 dB는 진폭으로 셀 때 20 dB마다 10배입니다. 그래서 \(10^{60/20} = 10^3 = 1000\)(10을 세 번 곱함)입니다. 진폭이 2배이면 \(20\log_{10}2 \approx 6.0\) dB 커지고 세기는 \(2^2 = 4\)배입니다. 위 실험에서 A를 50 %, B를 100 %로 놓으면 표에 '6.0 dB 큼'이 나옵니다. 로그와 dB의 기초는 진폭 편의 계산 예시에서 볼 수 있습니다.
📘 기초 수학 참고: 로그와 데시벨(dB) · 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: 30 dB 차이는 진폭 약 32배, 세기 1000배입니다. dB 숫자의 차이만 보면 '몇 배'인지 바로 알 수 있습니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 가운데 도(261.6 Hz)의 파장

상황: 피아노의 가운데 도(261.6 Hz)를 쳤을 때 공기 속 소리의 파장은 얼마일까요? 그리고 똑같이 1초에 261.6번 떨리는 전파를 만든다면 파장은 얼마일까요?

1. 소리: \(\lambda_{\text{소리}} = \dfrac{340\ \text{m/s}}{261.6\ \text{Hz}} \approx 1.30\ \text{m}\) → 공기가 빽빽한 곳과 다음 빽빽한 곳 사이가 약 1.3 m, 어린이 키 정도라는 뜻입니다.
2. 전파: \(\lambda_{\text{전파}} = \dfrac{3\times10^8\ \text{m/s}}{261.6\ \text{Hz}} \approx 1.15\times10^{6}\ \text{m} = 1{,}147\ \text{km}\) → 한 파장이 한반도 길이(약 1,000 km)보다 깁니다. 전파가 소리보다 약 88만 배 빠르기 때문입니다(\(3\times10^8 \div 340\)).
3. 안테나 길이: \(\dfrac{\lambda}{4} = \dfrac{1{,}147\ \text{km}}{4} \approx 287\ \text{km}\) → 이 전파를 효율적으로 내보내려면 287 km짜리 안테나가 필요하다는 뜻입니다. 아래 표의 마지막 열이 이 값입니다.

📐 수학 도움말: \(3\times10^8\)은 3 뒤에 0이 8개 붙은 수(3억)입니다. 10의 거듭제곱 계산법은 주파수 편의 계산 예시를 참고하세요.
📘 기초 수학 참고: 큰 수·작은 수와 단위

👉 정리: 소리의 주파수 그대로 전파를 만들면 파장이 수백~수천 km나 되어, 효율적인 안테나(파장의 1/4)도 수백 km가 필요합니다. 이것이 반송파가 필요한 첫 번째 이유입니다.

🧮 실제 값으로 계산해 보기 — 마이크가 만드는 전압

상황: 라디오 방송국 스튜디오에서 진행자가 마이크 앞에서 보통 목소리(60 dB)로 말하다가, 신이 나서 큰 소리(90 dB)를 냈다고 해 봅시다. 마이크마다 '1 Pa의 음압을 받으면 몇 mV를 내는가'(감도)가 정해져 있는데, 이 마이크의 감도는 약 10 mV/Pa입니다.

1. 보통 목소리: \(V_{\text{대화 60 dB}} = 10\ \tfrac{\text{mV}}{\text{Pa}} \times 0.02\ \text{Pa} = 0.2\ \text{mV}\) → 위에서 구한 대화의 음압 0.02 Pa가 0.2 mV의 전압 흔들림이 된다는 뜻입니다.
2. 큰 소리: 90 dB의 음압은 \(20\ \mu\text{Pa} \times 10^{90/20} \approx 0.63\ \text{Pa}\)이므로 \(V_{\text{큰 소리 90 dB}} = 10\ \tfrac{\text{mV}}{\text{Pa}} \times 0.63\ \text{Pa} \approx 6.3\ \text{mV}\) → 음압이 31.6배(30 dB)가 되니 전압도 똑같이 31.6배가 되었습니다.

📐 수학 도움말: mV(밀리볼트)는 1000분의 1 V입니다. 감도 × 음압처럼 한쪽이 2배가 되면 결과도 2배가 되는 관계를 비례라고 합니다.
📘 기초 수학 참고: 큰 수·작은 수와 단위 · 분수·비율·비례

👉 정리: 마이크는 진폭의 비율을 그대로 전기로 옮깁니다. 다만 전압이 1000분의 1 V 안팎으로 아주 작아서, 방송국과 휴대전화는 먼저 증폭기로 신호를 키운 뒤에 다음 단계로 보냅니다.